Задание №174655: Уравнения

7. Даны пирамида ABCD и сфера. Ребро AB пирамиды является диаметром сферы; прямые, содержащие три других ребра, касаются сферы, а середины двух оставшихся рёбер лежат на сфере. Найдите угол ACB , длину ребра CD и объём пирамиды ABCD, если AB  2 3 . Ответ. ACB  45  , CD  4 3 , V  6 . Решение. Предположим, что сфера касается прямых AC и AD . Тогда AB перпендикулярно плоскости ACD , поэтому сфера имеет единственную общую точку A с плоскостью ACD , и значит, не имеет общих точек с ребром CD. С прямыми BA , BC , BD сфера будет иметь по две точки пересечения, что противоречит условию. Аналогично доказывается, что сфера не может касаться одновременно рёбер BC и BD . Значит, сфера касается ровно одной из двух прямых AC или AD – пусть, для определённости, ребра AD . Тогда сфера также касается прямых BC и CD и проходит через середины K и L рёбер AC и BD соответственно. Из касания сферы с прямой BC следует, что BC  AB . Так как OK – средняя линия треугольника ABC , то BC  2OK  2R  AB, откуда вытекает, что ABC – прямоугольный равнобедренный треугольник и ACB  45  . Аналогично доказывается, что BAD – равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой BD . Пусть M – точка касания сферы с ребром CD. Треугольник CDO– равнобедренный (т.к. отрезки CO и DO – это соответствующие медианы равных треугольников BAC и BAD ), OM – его высота, а значит, и медиана. Из равенства треугольников COB и COM получаем, что CM CB  2R , следовательно, CD  4R  4 3 Опустим из вершины D высоту DH на плоскость ABC . Тогда точка H лежит на прямой, проходящей через точку A параллельно CB. Пусть DH  h , AH  x . По теореме Пифагора из треугольников ADH и CDH получаем x 2  h 2  4R 2, x  2R2  2R2  h 2  4R2. Решая эти уравнения, находим, что x  R , h  R 3 . 3 1 2R Тогда объём V пирамиды ABCD равен  R 3  2R 2   6. 3 3 9 © МФТИ, 2014 Решения олимпиады “Физтех–2014”, билет 4