Задание №166142: Геометрия
Задание 7. Вариант 1. Точка 𝑃 внутри равностороннего треугольника со стороной 8 3 такова, что 𝑆 𝐴𝐵𝑃 + 𝑆 𝐴𝐶𝑃 = 3𝑆 𝐵𝐶𝑃 . Какую наименьшую длину может иметь отрезок 𝐴𝑃? Через 𝑆 обозначается площадь треугольника 𝑋𝑌𝑍. 𝑋𝑌𝑍 √
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Геометрия» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: ВсОШ в Москве — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- ВсОШ в Москве — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Геометрия» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задание 7. Вариант 1. Точка 𝑃 внутри равностороннего треугольника со стороной 8 3 такова,
что 𝑆 𝐴𝐵𝑃 + 𝑆 𝐴𝐶𝑃 = 3𝑆 𝐵𝐶𝑃 .
Какую наименьшую длину может иметь отрезок 𝐴𝑃? Через 𝑆 обозначается площадь треугольника 𝑋𝑌𝑍.
𝑋𝑌𝑍
Ответ: 9
Решение.
Заметим, что
𝑆 𝐴𝐵𝐶 = 𝑆 𝐴𝐵𝑃 + 𝑆 𝐴𝐶𝑃 + 𝑆 𝐵𝐶𝑃 = 4𝑆 𝐵𝐶𝑃 .
У треугольников 𝑃𝐵𝐶 и 𝐴𝐵𝐶 общее основание 𝐵𝐶, поэтому высота из точки 𝑃 на сторону 𝐵𝐶 в четыре раза меньше,
чем высота из 𝐴.
Значит, условие равносильно тому, что 𝑃 лежит на прямой, на расстоянии 1/4 высоты из точки 𝐴. Ближайшая
к 𝐴 точка на этой прямой — основание высоты из точки 𝐴, т.е. на расстоянии 3/4 от высоты треугольника (см. чертёж)
√
Осталось посчитать длину высоты в равностороннем треугольнике со стороной 8 3 Это можно сделать многими
способами, мы воспользуемся теоремой Пифагора:
q √ √
(8 3)2 − (4 3)2 = 12,
Используемые формулы
что 𝑆 𝐴𝐵𝑃 + 𝑆 𝐴𝐶𝑃 = 3𝑆 𝐵𝐶𝑃 .𝑆 𝐴𝐵𝐶 = 𝑆 𝐴𝐵𝑃 + 𝑆 𝐴𝐶𝑃 + 𝑆 𝐵𝐶𝑃 = 4𝑆 𝐵𝐶𝑃 .√q √ √(8 3)2 − (4 3)2 = 12,
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.