Задание №174959: Геометрия

6. На ребре BB правильной треугольной призмы ABCA B C выбрана точка T так, что центр 1 1 1 1 сферы, описанной около пирамиды TAA C C , лежит в грани AA C C . Известно, что радиус 1 1 1 1 сферы, описанной около пирамиды TABC , равен 19 , а ребро основания призмы равно 4 3 . Найдите: а) отношение объёма пирамиды TAA C C к объёму призмы; 1 1 б) длину отрезка TB ; в) объём призмы. Ответ: а) V :V = 2:3, б) BT = 2 3 , в) V = 216. TAA1C1C Решение. Введём обозначения: K – центр грани ABC ; L – середина ребра AC ; P – центр сферы, описанной около пирамиды TAA C C (т.е. P – центр грани AA C C ); O – центр сферы, 1 1 1 1 описанной около пирамиды TABC . а) V TABC = 1 ⋅ TB ; V TA1B1C1 = 1 ⋅ TB 1 ⇒ V TABC +V TA1B1C1 = 1 ⋅ TB +TB 1 = 1 . Значит, объём V 3 BB V 3 BB V 3 BB 3 ABCA1B1C1 1 ABCA1B1C1 1 ABCA1B1C1 1 пирамиды TAA C C составляет две трети объёма призмы. 1 1 б) Сторона равностороннего треугольника ABC равна 4 3 , следовательно, BL = 6, BK = 4 . © МФТИ, 2012