Задание №174898: Геометрия

6. На ребре CC правильной треугольной призмы ABCA B C выбрана точка M так, что центр 1 1 1 1 сферы, описанной около пирамиды MAA B B , лежит в грани AA B B . Известно, что радиус 1 1 1 1 сферы, описанной около пирамиды MABC , равен 5, а ребро основания призмы равно 4 3 . Найдите: а) отношение объёма пирамиды MAA B B к объёму призмы; 1 1 б) длину отрезка MC ; в) площадь полной поверхности призмы. Ответ: а) V :V = 2:3, б) MC = 6 , в) S =144 3 . MAA1B1B Решение. Введём обозначения: K – центр грани ABC ; L – середина ребра AB ; Q – центр сферы, описанной около пирамиды MAA B B (т.е. Q – центр грани AA B B); O – центр сферы, 1 1 1 1 описанной около пирамиды MABC . а) V MABC = 1 ⋅ MC ; V MA1B1C1 = 1 ⋅ MC 1 ⇒ V MABC +V MA1B1C1 = 1 ⋅ MC + MC 1 = 1 . Значит, объём V 3 CC V 3 CC V 3 CC 3 ABCA1B1C1 1 ABCA1B1C1 1 ABCA1B1C1 1 пирамиды MAA B B составляет две трети объёма призмы. 1 1 б) Сторона равностороннего треугольника ABC равна 4 3 , следовательно, CL = 6, CK = 4 . © МФТИ, 2012