Задание №174640: Геометрия

6 Решение. Окружность вписана в углы C и D трапеции, следовательно, её центр лежит на пересечении биссектрис этих углов. Поскольку угол между биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных прямых равен 90 , получаем DOC  COB 90  . 4 © МФТИ, 2014 Решения олимпиады “Физтех–2014”, билет 2 Из прямоугольного треугольника BMO находим, что OB  BM 2  OM 2  13 . Треугольник DBC равнобедренный, так как CO является его высотой и биссектрисой. Значит, CO также является медианой, поэтому DO  BO  13 . Пусть CBDBDABDC. Из треугольника MOB 2 3 2 находим, что tg , cos , sin . 3 13 13 Поскольку вокруг четырёхугольника KOBA можно описать окружность, сумма его противоположных углов равна 180  . Следовательно, OBA 90  . Из прямоугольного треугольника ABD находим, что BD 26 4 13 BO 13 AD   , AB  AD sin . Из треугольника BOC получаем, что BC   . cos 3 3 cos 3 1 1 Находим площадь трапеции: S  MK BC  AD 413 26 . 2 2 Отрезок OA является диаметром окружности  . Из треугольника AOB получаем: 208 325 5 13 OA 2  BO 2  AB 2  13  ; OD  . Следовательно, радиус r окружности  9 9 3 5 13 равен . 6