Задание №166137: Задание 6
Задание 6. Вариант 1. Петя написал на доске 7 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, и заметил, что: • сумма любых трёх из них делится на 3; • сумма любых четырёх из них делится на 4; • сумма любых пяти из них делится на 5. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из написанных на доске чисел.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 6» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: ВсОШ в Москве — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- ВсОШ в Москве — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 2 файла
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 6» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задание 6. Вариант 1. Петя написал на доске 7 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, и заметил,
что:
• сумма любых трёх из них делится на 3;
• сумма любых четырёх из них делится на 4;
• сумма любых пяти из них делится на 5.
Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из написанных на доске чисел.
Ответ: 361
Решение.
Докажем, что все числа дают одинаковые остатки при делении на 3, 4 и 5.
Обозначим через 𝑠 сумму трёх чисел, отличных от каких-то двух 𝑎 и 𝑏. Тогда 𝑠 + 𝑎 и 𝑠 + 𝑏 делятся на 3, откуда
получаем, что 𝑎−𝑏 делится на 3, это и значит, что числа 𝑎 и 𝑏 дают одинаковые остатки при делении на 3. Аналогично
доказывается, что любые два числа дают одинаковые остатки при делении на 3, на 4 и на 5.
Значит, разность любых двух чисел делится на НОК(3, 4, 5) = 60, т.е. разность любых двух чисел не меньше 60.
Тогда наибольшее число не меньше 1 + 60 · 6 = 361.
При этом числа 1, 61, 121, 181, 241, 301, 361 подходят под условие, так как все они дают остатки 1 при делении
на каждое из чисел 3, 4, 5.
Используемые формулы
Значит, разность любых двух чисел делится на НОК(3, 4, 5) = 60, т.е.Тогда наибольшее число не меньше 1 + 60 · 6 = 361.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.