Задание №166003: Геометрия

Задание 6. Вариант 1. Маша создала последовательность треугольников из спичек, используя схему, показанную
на рисунке.

На один из треугольников ушло 135 спичек. Из скольких спичек состоит одна сторона этого треугольника?
Ответ: 9
Решение.
Рассмотрим нижнюю строку в треугольнике, пусть в ней 𝑘 спичек. Выделим 𝑘 треугольников (назовём их единич-
ными), для которых спички, лежащие в основании, являются стороной. Например, для треугольника со стороной 3
мы выделим 3 красных единичных треугольника:

Если эти треугольники убрать, то получится треугольник, сторона которого содержит 𝑘 − 1 спичку.
Аналогично уберём теперь у полученного треугольника нижний ряд единичных треугольников, получив треуголь-
ник, сторона которого содержит 𝑘−2 спички. Проделывая эту операцию, в конце концов получим треугольник со сто-
роной в одну спичку.
Понятно, что количество единичных треугольников равно 1 + 2 + ... + 𝑘. Тогда количество спичек в треугольнике
со стороной в 𝑘 спичек равно 3 · (1 + 2 + ··· + 𝑘).
Имеем следующее равенство: 3 · (1 + 2 + ··· + 𝑘) = 135, что равносильно 1 + 2 + 3 + ··· + 𝑘 = 45.
Таким образом, нужно складывать последовательные натуральные числа до тех пор, пока не получится 45. Это
произойдёт при 𝑘 = 9, при этом ответ единственный, так как все меньшие суммы будут меньше 45, а все большие —
больше.