Задание №178064: Турнир Ломоносова 2008

3. «Раскраска». пункте «а» на поле 1 × 1 победит второй игрок,
иначе же первый, который сразу же закрасит всё поле, кроме одной
клетки. В пункте «б» на поле 2 × 2 победит второй игрок (это легко
проверяется), а во всех прочих случаях первый — он своим ходом может
оставить второму игроку квадрат со стороной в 2 клетки.
В случаях «в» и «г» победит первый игрок. Опишем выигрышную
стратегию для начинающего игру для общего случая m × n клеток,
n > m − 1. (Идея этого решения принадлежит девятикласснице из
Москвы Ольге Буровой.) Первый ход начинающего состоит в закра
шивании почти всего поля — незакрашенными остаются лишь две
полоски размером m × 1 по его краям.
Дальнейшая игра идёт на этих двух независимых полосках. Начи
нает второй. Первый придерживается такого правила: на любой ход

37

второго на одной из полосок отвечает таким же (симметричным) ходом
на второй. Но: как только при ходе второго игрока его полоска (та, где
он только что пошёл) превратилась в набор из k отдельных, не грани
чащих по сторонам друг с другом клеток (возможно, k = 0), первый
на второй полоске делает такой ход (назовём его «решающий»), чтобы
их (изолированных клеток) там осталось на одну больше или на одну
меньше, чем оставил на своей полоске второй игрок.




Теперь все клетки изолированы друг от друга, их общее число явля
ется суммой двух последовательных чисел и потому нечётно, а тогда
игроки будут красить их по очереди, начиная со второго игрока, кото
рому и останется последняя проигрышная клетка.
Покажем теперь, что решающий ход действительно можно осуще
ствить. Пусть второй игрок закрасил прямоугольник l×1 клеток, после
чего на его полоске остались изолированные незакрашенные клетки.
Если закрашенный им прямоугольник граничил с одной или двумя
незакрашенными клетками, первый при своём ходе может закрасить
прямоугольник (l + 1) × 1, включающий тот, что закрашен соперни
ком, и одну из этих клеток. Если же по обоим коротким сторонам от
закрашенного вторым игроком прямоугольника l × 1 были закрашен
ные клетки, то первый может закрасить его часть (l − 1) × 1, оставив
лишнюю клетку с краю. Такой ход, казалось бы, невозможен при l = 1,
но это бы означало, что уже перед ходом второго игрока были бы
только одиночные клетки, а мы уговорились, что они впервые появи
лись только после его хода.
Критерии проверки. За пункт «а» давалось 2 балла, за каждый
следующий на 2 балла больше предыдущего. «Голые» ответы не оцени
вались. По баллу в первых двух пунктах снималось за неразобранные
случаи-исключения 1 × 1 и 2 × 2.
Задания конкурса по математическим играм предложили:
№ 1 — И. В. Раскина; № 2 — М. Э. Дворкин; № 3 — И. В. Раскина.




38

Критерии награждения

Кроме письменного конкурса по математическим играм в ряде мест
проведения турнира математические игры также проводились устно.
Результаты устных ответов по каждому заданию переводятся в
баллы в соответствии с критериями проверки письменных работ. Если
какое-либо задание участник сдавал и устно, и письменно, учитывается
наилучшая (из двух) оценка в баллах за это задание. (Если участ
ник сдавал задание устно несколько раз — за каждый пункт каждого
задания учитывается лучшая из всех полученных оценок.)
Оценка «e» (балл многоборья) ставилась, если в сумме по трём зада
ниям было набрано 8 баллов или больше.
Оценка «v» (грамота за успешное выступление в конкурсе по мате
матическим играм) ставилась, если в сумме по трём заданиям было
набрано 18 баллов или больше. (То есть достаточно было полностью
выполнить любое одно задание — возможно, с незначительными недо
чётами. Для этого, в частности, было достаточно полностью выполнить
задание на одном «сеансе» устного конкурса.)
В случае, если поставлена оценка «v», оценка «e» не ставится.
Устный конкурс. Рекомендации
Мы рекомендуем по возможности провести этот конкурс в устной форме
для учеников не старше восьмого класса. Ученикам 9–11 классов даются
задания для письменной работы. Если нет возможности провести кон
курс устно, дайте письменные задания и младшим ребятам, но всё
же, пожалуйста, постарайтесь организовать для них устный конкурс —
младшеклассники, как показывает печальный опыт прошлых лет, очень
плохо записывают решения заданий по математическим играм.
Мы советуем проводить устный конкурс приблизительно так. В выде
ленной аудитории назначаются «сеансы игр» — например, каждый час
или, если аудитория невелика, каждые 45 минут. Расписание «сеан
сов» вывешивается на дверях. Перед началом сеанса в аудиторию
запускаются участники и рассаживаются за парты, лучше по двое.
Не допускайте перенаселения, посоветуйте тем, кто не помещается,
посетить иные конкурсы, а на этот прийти к другому сеансу.
На каждом сеансе ведущие (их нужно примерно по одному на 10–15
школьников) могут выбрать одну предложенных игр. Перед тем, как
рассказать правила, можно кратко объяснить, что такое математиче
ская игра, что такое стратегия, привести пример на самых известных

39

играх, например, «крестики-нолики 3×3» или «двое берут из кучи по 1
или 2 камня». Рассказав правила, можно выдать ребятам задания (для
этого их надо предварительно разрезать, чтобы можно было выдать
задания и правила только одной игры) и попросить их сыграть друг
с другом или с вами несколько партий, чтобы понять принципы игры.
С желающим объяснить решение какого-либо пункта задания негромко
побеседуйте. Потребуйте, чтобы он не просто «обыграл» вас, а внятно
объяснил стратегию. Сданную задачу отметьте в протоколе.
Участнику можно предложить перейти в аудиторию, где проходит
письменный конкурс
— если он затрудняется изложить решение устно,
— если он уже решил предложенную игру и хочет решать другие,
— если по каким-то причинам Вы бы хотели, чтобы его решение
подверглось внешней проверке,
— если, наконец, он бузит и мешает Вам работать.
Многие дети, кстати, не настолько жаждут решить и сдать задачу,
они приходят просто поиграть. Дайте им эту возможность, поиграйте с
ними, устройте турнир по какой-то игре. Шутите, улыбайтесь, создайте
праздничную атмосферу. Самых заядлых игроков можно оставить на
повторный сеанс, но сначала напомните о других конкурсах.
Чтобы конкурс прошёл хорошо, к нему надо подготовиться.
Во-первых, прорешайте заранее задания, чтобы уверенно играть
с детьми, когда надо поддаваясь, когда надо побеждая.
Во-вторых, распечатайте бланк протокола, распечатайте, размножьте
и разрежьте на три части задания игр.
О записи результатов. В протоколе отражайте сданные школь
никами задания. Принимайте задачи строго, требуйте объяснения
правильности стратегии. Не подсказывайте явно, но незаметно слегка
помогите участнику, если видите, что он понимает суть решения, но не
может точно её выразить. Бывает так, что маленький участник очень
ловко играет в игру, в разные её варианты, но объяснить ничего тол
ком не может. Отметьте это словами в протоколе, такого малыша тоже
можно будет поощрить. Протокол(ы) сдайте старшему по месту прове
дения Турнира.
Статистика
Приводим статистику решаемости задач конкурса по математическим
играм школьниками, участвовавшими в Турнире в Москве и Москов
ском регионе.
40

В приведённой статистике учтены все письменные работы по мате
матическим играм, сданные школьниками в Московском регионе (в том
числе и абсолютно нулевые), а также все устные ответы, кроме абсо
лютно нулевых. При наличии нескольких устных ответов за каждый
пункт каждой задачи учтён лучший результат. При наличии как уст
ного, так и письменного ответа по каждой задаче учтена лучшая оценка
(наибольшее количество баллов).
Сведения о количестве школьников по классам, получивших гра
моту по астрономии и наукам о Земле («v»), получивших балл мно
гоборья («e»), а также общем количестве участников конкурса по аст
рономии и наукам о Земле (количестве сданных работ).
Класс 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Всего
Всего 0 1 2 25 144 420 523 471 280 211 135 2212
«e» 0 0 1 1 8 26 51 46 26 28 21 208
«v» 0 0 0 1 6 11 34 42 6 10 7 117
Сведения о распределении баллов по заданиям.

Баллы Номера заданий Баллы Номера заданий
1 2 3 1 2 3
0 1726 1927 1794 11 2 4 4
1 71 25 110 12 3 34 11
2 87 6 74 13 4 1 0
3 12 48 7 14 67 1 1
4 29 83 49 15 1 2 0
5 84 12 23 16 4 13 1
6 12 8 104 17 0 0 1
7 4 26 0 18 1 1 1
8 6 7 0 19 2 0 1
9 54 4 1 20 31 5 31
10 13 6 0

Обращает на себя внимание очень большое количество нулевых бал
лов. Это обусловлено сочетанием двух причин. Во-первых, конкурс по
математическим играм для многих школьников оказался непривычным,
в своих работах ребята часто приводили описание игры, примеры пар
тий и т. п., но не делали попыток решить игру как математическую
задачу. Во-вторых, ввиду достаточно сложной системы учёта результа

41

тов (возможность нескольких устных и письменных ответов с коррект
ным объединением результатов) невозможно чётко разграничить ситуа
ции, когда школьник пытался выполнить задание, но получил 0 баллов,
и когда он вообще не выполнял и не планировал выполнять какое-либо
задание. (Например, отвечая устно, школьник сказал пару слов и пере
думал, но в протоколе перед началом ответа он уже был отмечен.)
Сведения о распределении суммы баллов по классам. (Знаками «e»
и «v» показаны границы соответствующих критериев награждения.)
Сумма Классы Всего
баллов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 0 1 0 17 109 290 309 252 174 102 66 1320
1 0 0 6 21 36 38 14 20 12 147
2 1 2 6 16 25 21 12 11 7 101
3 0 1 0 4 8 15 10 7 3 48
4 0 1 1 23 18 22 16 13 4 98
5 0 2 4 8 18 21 7 8 11 79
6 0 0 4 19 16 12 11 7 3 72
7 0 0 0 2 8 2 4 5 1 22
8 e e e 0 e 0 e 1 e 5 e 7 e 4 e 5 e 2 e 1 25
9 0 0 0 3 10 7 4 5 1 30
10 0 0 0 2 9 6 4 5 4 30
11 0 0 0 4 3 2 4 3 3 19
12 0 1 0 3 2 11 1 4 0 22
13 0 0 2 0 3 1 0 0 4 10
14 1 0 4 5 9 8 3 4 5 39
15 0 0 0 6 2 1 2 1 12
16 0 1 4 2 3 2 2 0 14
17 0 0 0 0 2 2 1 2 7
18 v v v v 0 v 0 v 0 v 3 v 1 v 1 v 1 v 0 v 6
19 1 1 1 1 4 1 1 2 12
20 3 7 10 10 1 3 1 35
21 0 0 1 1 0 1 0 3
22 0 1 3 1 0 0 0 5
23 0 0 0 4 1 0 0 5
24 1 1 4 2 0 1 1 10
25 0 0 1 4 1 0 0 6
> 25 1 1 11 15 1 3 3 35

42