Задание №177922: Турнир Ломоносова 2006

3. Последняя игра («паутина») тоже очень сложная при предельно
коротких правилах (без ограничений; ограничения были специально
введены для упрощения игры).
Для начала заметим, что пятиугольник легко можно получить, если
на игровом поле есть четырёхугольник — обычный (рис. 3.1) или «бес-
конечный» (рис. 3.2). Выигрышный ход показан жирной линией.
22

Рис. 3.1 Рис. 3.2
Наоборот, пятиугольник можно построить только если уже есть как
минимум четырёхугольник. Поэтому переформулируем цель игры так:
тот, кто получает четырёхугольник, проигрывает. Обратимся к зада-
ниям.
Пункт а) совсем прост. После второго хода первого игрока полу-
чается треугольник. Второй игрок либо пересекает две стороны тре-
угольника, либо три продолжения сторон — в обоих случаях получается
четырёхугольник, и первый игрок добивается победы.
В пункте б) побеждает первый игрок. Вот как он может играть.
Первым ходом он проводит прямую. Второй может её пересечь или про-
вести параллельную, но первый своим следующим ходом в обоих слу-
чаях добивается ситуации, изображённой на рис. 3.3. Второй не может
пойти параллельно прямой AB, стало быть, он должен её пересечь.
Это можно сделать, проведя параллельную к двум уже имеющимся
прямым (как на рисунках 3.4, 3.5) или пересекающую все имеющи-
еся прямые, причём прямую AB именно на отрезке AB (рис 3.6, 3.7).
B B B



A A A

Рис. 3.3 Рис. 3.4 Рис. 3.5
Легко видеть, что первый тогда может сделать такой ход, чтобы
образовалась картина, представленная на рис. 3.8. Следующих ход вто-
рого не может быть параллелен прямой PQ, а значит будет её пересе-
кать. Легко видеть, что пересечь её можно только в P или в Q. Анало-

23

гично, пересечь прямую MN можно только в M или N. Таким образом,
у второго остаётся только два хода — MP или NQ. Оставшийся ход
делает первый игрок. Теперь (рис. 3.9) любой ход второго приводит его
к проигрышу.

B
P Q
B

A A
M N
Рис. 3.6 Рис. 3.7 Рис. 3.8
Похожим образом, но несколько проще, решается пункт г). Пер-
вый игрок проводит третью параллельную прямую. Как бы ни пошёл
теперь второй игрок, первый сможет добиться картинки, приведённой
на рис. 3.10. Хорошо видно, что теперь оба обречены проводить пря-
мые, параллельные четырём имеющимся, — любой другой ход создаёт
четырёхугольник.

P Q



M N
Рис. 3.9 Рис. 3.10
Что до пунктов в) и д), то их полное решение составителям задания
неизвестно. Не решили эти задания и участники конкурса. Что ж, это с
одной стороны даёт возможность желающим играть в игру не опасаясь,
что соперник играет по стратегии, с другой стороны это даёт пищу для
размышлений для тех читателей, кому станет интересно исследовать
данную игру. «Эта игра длится бесконечно — отметила девятикласс-
ница Анна из Москвы, — пока вся плоскость не будет в линиях». Дей-
ствительно, наличие ничейной стратегии у кого-то из игроков весьма
вероятно. Но точный ответ на этот вопрос мы, к сожалению, пока не
знаем.
Зато мы знаем, что задания этого конкурса предложили: № 1 —
Арина Банникова, № 2 — Александр Хачатурян и № 3 — Иван
Ященко. Закончим же разбор цитатой из работы уже упоминавшейся
24

семиклассницы-москвички Лины: «Выиграть могут оба участника. Всё
зависит от правильного расчёта и от постановки линий. Внимание —
вот залог успеха!» Будьте дальновидны и внимательны, удачи вам и в
играх и в делах!

Рекомендации для организаторов конкурса по мате-
матическим играм

Конкурс по математическим играм на Турнире Ломоносова–2006 по замыслу
составителей проходит как в устной, так и в письменной форме. Мы рекомен-
дуем с учениками 5–8 классов проводить конкурс устно, старшеклассникам
же выдать письменные задания. Представляется допустимым давать пись-
менные задания 7–8-классникам, но более младшим детям их точно давать не
стоит. Хотя бы для самых маленьких участников турнира лучше постараться
провести устный конкурс (можно просто поговорить с такими школьниками
и отметить их успехи).
Вашему вниманию предлагаются три игры. Первая не очень сложна, две
последние в общем виде трудноваты. Конкурс принято проводить в виде
нескольких сеансов. Лучше, если его будут проводить несколько человек.
В аудиторию, где проводятся игры, приглашаются участники, рассажи-
ваются желательно по двое за парту. После этого двери затворяются и выве-
шивается время начала следующего сеанса (обычно через час).
Один из ведущих объясняет ребятам, что такое математическая игра, что
такое стратегия, используя для этого хорошо известные игры — «крестики–
нолики», игру Баше и пр. После этого участникам объясняются правила
одной из предлагаемых игр и рекомендуется поиграть самим с собой, друг
с другом или с ведущим (ведущими), чтобы, играя, нащупать стратегию.
Ведущий игры расспрашивает участников, могут ли они изложить ему
принцип игры в общем случае или в каких-то частных, фиксирует сделан-
ные продвижения. Участник, отчасти продвинувшийся в понимании игры,
может быть сочтён «успешно выступившим», а сделавший более значитель-
ное продвижение — «победителем». Можно провести турнир по игре и счесть
«успешно выступившими» и «победителями» тех, кто занял в турнире высо-
кие места.
Главное, чтобы маленьким участникам турнира было интересно и весело!
Предупреждение организаторам. Во всяких математических играх
бывает много тонкостей, которые непросто осознать «на лету». Поэтому,
прежде чем играть со школьниками, проводящим конкурс рекомендуется
накануне потратить час-другой и во всём разобраться. После этого прово-
дить конкурс вам будет намного легче и интереснее.
25