Задание №177076: Турнир городов
2. На высотах AA , BB , CC остроугольного неравностороннего тре- 0 0 0 угольника ABC отметили соответственно точки A , B , C так, что 1 1 1 AA = BB = CC = R, где R — радиус описанной окружности треуголь- 1 1 1 ника ABC. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A B C совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC. 1 1 1 Е. Бакаев
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. [4] Какое наибольшее количество различных целых чисел можно выписать в ряд так,
чтобы сумма каждых 11 подряд идущих чисел равнялась 100 или 101?
(Е. Бакаев)
Ответ: 22 числа.
Решение. Оценка. Предположим, что получилось выписать такие различные числа x ,
1
…, x , что сумма каждых 11 подряд идущих равна A или B. Пусть
23
S = x + … + x . Заметим, что S ≠ S (иначе x = x ). Значит, S = S . Поскольку
k k k+10 k k+1 k k+11 k k+2
x + S + S = S + S + x , то x = x . Противоречие.
1 2 13 1 12 23 1 23
Пример. Выберем 10 натуральных чисел с шагом 3, а одиннадцатое – дополняющее их
сумму до 100. Тогда ряд x , …, x , x + 1, x – 1, x + 1, x – 1, …, x + 1 будет искомым.
1 11 1 2 3 4 11
Например, так: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, –35, 1, 2, 7, 8, 13, 14, 19, 20, 25, 26, – 34.
Используемые формулы
S = x + … + x .Заметим, что S ≠ S (иначе x = x ).Значит, S = S .x + S + S = S + S + x , то x = x .
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.