Турнир городов — Математика
355 заданий с подробными решениями. Страница строится только из материалов, пригодных для индексации.
Задание №1 · Математика · Олимпиада
1. Фокусник выкладывает в ряд колоду из 52 карт и объявляет, что 51 из них будут выкинуты со стола, а останется тройка треф. Зритель на каждом шаге говорит, какую по 3 счёту с края…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. Фокусник выкладывает в ряд колоду из 52 карт и объявляет, что 51 из них будут выкинуты со стола, а останется тройка треф. Зритель на каждом шаге говорит, какую по 4 счёту с края…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. Каждая из функций f(x) и g(x) определена на всей числовой прямой и не является строго монотонной. Может ли быть, что и их сумма, и их разность строго монотонны на всей числовой …
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. Число 2021 = 43 · 47 составное. Докажите, что если вписать в числе 2021 сколько угодно вось- 4 мёрок между 20 и 21, тоже получится составное число. Михаил Евдокимов…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. а) Выпуклый пятиугольник разбили непересекающимися диагоналями 2 на три треугольника. Могут ли точки пересечения медиан этих треугольников лежать на одной прямой? 2 б) Тот же во…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. Может ли произведение каких-то 9 последовательных натуральных 4 чисел равняться сумме (может быть, других) 9 последовательных натуральных чисел? Борис Френкин…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. Даны n натуральных чисел. Боря для каждой пары этих чисел записал на чёрную доску их среднее арифметическое, а на белую доску — их среднее геометрическое, 4 и для каждой пары хо…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. Для всякого ли выпуклого четырёхугольника найдётся окружность, пересекаю- 4 щая каждую его сторону в двух внутренних точках? Александр Перепечко…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. Каждый из квадратных трёхчленов P(x), Q(x) и P(x) + Q(x) с дей- 3 ствительными коэффициентами имеет кратный корень. Обязательно ли все эти корни совпадают? Борис Френкин…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. На окружности отмечено 100 точек. Может ли при этом оказаться 3 ровно 1000 прямоугольных треугольников, все вершины которых — отмеченные точки? Сергей Дворянинов…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. Многочлен третьей степени имеет три различных корня строго между 0 и 1. Учитель сообщил ученикам два из этих корней. Ещё он сообщил все четыре коэффициента многочлена, но не ука…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. Для каждого из девяти натуральных чисел n, 2n, 3n, ..., 9n выписали на доску первую слева цифру в его десятичной записи. При этом n выбрали так, чтобы среди девяти 5 выписанных …
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. Найдите наибольшее натуральное число n со свойством: для каждого простого числа p, 4 большего 2 и меньшего n, разность n − p также является простым числом. Игорь Акулич…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. Натуральное число умножили на 5, результат снова умножили на 5 и так далее, всего сделали k умножений. Оказалось, что в десятичной 4 записи исходного числа и полученных k чисел …
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. Два человека шли по прямой дорожке навстречу друг другу с постоянными скоростями, но один — медленно, другой — быстро. Одновременно каждый отпустил вперёд от себя собаку (собаки…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. В ряд записаны n > 2 различных ненулевых чисел, причём каждое следующее больше предыдущего на одну и ту же величину. Обратные к этим n числам тоже удалось записать 5 в ряд (возм…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. Натуральное число k назовем интересным, если произведение первых k простых чисел делится на k (например, произведение 3 первых двух простых чисел — это 2 · 3 = 6, и 2 — число ин…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. Турнир Городов проводится раз в год. Сейчас год проведения осеннего тура делится на номер турнира: 2021 : 43 = 47. Сколько 4 ещё раз человечество сможет наблюдать это удивительн…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. Дана треугольная пирамида SABC, основание которой — равносторонний треугольник ABC, а все плоские углы при вершине S равны α. При каком наименьшем α можно утверждать, что эта пи…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. Даны две последовательности из букв А и Б, в каждой из которых по 100 букв. За одну операцию разрешается или вставить в какое-то место последовательности (возможно, 4 в начало и…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30◦ одна из биссектрис в два 4 раза короче какой-то другой биссектрисы. Егор Бакаев…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. На столе лежат 2023 игральных кубика. За 1 рубль можно выбрать любой кубик и переставить его на любую из четырёх граней, которые сейчас для него боковые. За какое наименьшее кол…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. В кабинете сидят N нерях, у каждого на его столе скопилось ненулевое количество мусора. Неряхи выходят обедать по одному (после возвращения предыдущего), а в это время каждый из…
Турнир городов · ОлимпиадныйЗадание №1 · Математика · Олимпиада
1. Какой наибольший рациональный корень может иметь уравнение вида aх2 + bx + c = 0, где 5 a, b и c — натуральные числа, не превосходящие 100? Михаил Евдокимов…
Турнир городов · Олимпиадный