Командная олимпиада 2021 — Математика
10 заданий с подробными решениями. Страница строится только из материалов, пригодных для индексации.
Задание №1 · Математика · Олимпиада
Назовем натуральное число приятным, если оно не делится на 47. Докажите, что в любом множестве из 10000 приятных чисел можно выбрать подмножество из 2021 элемента так, что любая зн…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №2 · Математика · Олимпиада
Найдите все многочлены с целыми коэффициентами 𝑃(𝑥) такие, что если для действительных𝑎и𝑏значение𝑎+𝑏—точныйквадрат,то𝑃(𝑎)+𝑃(𝑏)тоже.…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №3 · Математика · Олимпиада
В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝑂 — центр описанной окружности. Точки 𝐸 и𝐹 выбранынасторонах𝐴𝐵и𝐴𝐶соответственно,причем∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐸𝑂𝐹.Докажите,чтопериметр треугольника𝐴𝐸𝐹 немень…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №4 · Математика · Олимпиада
На оффлайн-собрании присутствовали 12𝑘 людей, причем каждый пожал руку ровно 3𝑘+6другимучастникам.Известно,чтодлялюбойпарылюдейчислопожавшихрукуобоимодинаковое.Сколькочеловекмоглоб…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №5 · Математика · Олимпиада
На окружности радиуса 13 отметили 13 точек. Верно ли, что всегда можно выбрать три изнихтак,чтоплощадьсоответствующеготреугольникабудетменьше13?…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №6 · Математика · Олимпиада
Вописанномчетырехугольнике𝐴𝐵𝐶𝐷 точка𝐼 –центрвписаннойокружности.Лучи𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 пересекаются в точке 𝐹, а лучи 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 – в точке 𝐺. Эллипс 𝜔 с фокусами в 𝐹 и 𝐺 проходит через точки 𝐵 и…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №7 · Математика · Олимпиада
Пусть𝑟и𝑠—натуральныечисла.Положим𝑎 = 0,𝑎 = 1и𝑎 = 𝑟𝑎 +𝑠𝑎 при𝑛 ⩾ 2. 0 1 𝑛 𝑛−1 𝑛−2 Обозначимтакже𝑓 = 𝑎 𝑎 …𝑎 .Докажите,что𝑓 𝑓 ∣ 𝑓 длявсехнатуральных𝑚и𝑛. 𝑛 1 2 𝑛 𝑚 𝑛 𝑚+𝑛…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №8 · Математика · Олимпиада
Внутриквадратнойтаблицы𝑛×𝑛закрашеныклеткинекоторогоквадрата𝑘×𝑘(1 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑛). Разрешается перекрашивать клетки выбранной строки или выбранного столбца. Какое наибольшееколичествозакра…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №9 · Математика · Олимпиада
Обозначимза𝑝(𝑛)наибольшийпростойделительчисла𝑛 ⩾ 2.Верноли,чтосуществует бесконечномноготаких𝑛,что𝑝(𝑛) < 𝑝(𝑛+1) < 𝑝(𝑛+2)?…
Командная олимпиада 2021 · ОлимпиадныйЗадание №10 · Математика · Олимпиада
Пусть𝑓(𝑥),𝑔(𝑥) ∶ [0;+∞) ⟶ [0;+∞)—непрерывныефункции.Известно,что • 𝑓(0) = 𝑔(0) = 0; • 𝑔(𝑥) ≠ 0привсехположительных𝑥; • 𝑓(𝑥+𝑔(𝑓(𝑥))) = 𝑓(𝑥)привсехнеотрицательных𝑥. Докажите,что𝑓(𝑥) …
Командная олимпиада 2021 · Олимпиадный