Задание №180760: Устная олимпиада 2024

4. (М. Волчкевич) Дан треугольник ABC, в котором угол B равен 60◦. Вписанная в

треугольник окружность с центром I касается стороны AC в точке K. Прямая, проходя-
щая через точки касания этой окружности с другими сторонами треугольника, пересекает
описанную около него окружность в точках M и N. Докажите, что луч KI делит дугу MN
пополам.
Решение. Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, S — точка пе-
ресечения прямой IK с указанной дугой (см. рис. 8–9.4а). Докажем, что радиус OS пер-
пендикулярен хорде MN, откуда и будет следовать утверждение задачи. Возможны раз-

личные способы рассуждения.
Первый способ. Поскольку биссектриса равнобедренного треугольника является высо-
той, то достаточно доказать параллельность OS и BI.
Пусть W — середина дуги AC, не содержащей точку B. Тогда точка W лежит на бис-
сектрисе угла B и на серединном перпендикуляре к отрезку AC. Докажем, что W OSI —
ромб, откуда и будет следовать утверждение задачи.
SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC


WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

Рис. 8–9.4а Рис. 8–9.4б
Предварительно покажем, что, если угол ABC равен 60◦, то отрезок W I равен радиусу

окружности. Действительно, если угол ABC равен 60◦, то ∠AOC = 120◦, а ∠AOW = 60◦,
то есть треугольник AOW равносторонний и WA = W O. Кроме того, по лемме о трезубце
WA = W C = W I, то есть W I = W O. Вернемся к решению.
Рассмотрим четырехугольник W OSI. У него равны стороны W I, W O и OS, а стороны
OW и SI параллельны как перпендикуляры к стороне BC. Такой четырехугольник являет-
ся либо ромбом, либо равнобокой трапецией с основаниями OW и SI. Осталось заметить,
3

что последний случай невозможен, так как ось симметрии этой трапеции является об-
щим серединным перпендикуляром к основаниям, то есть прямой AC, что противоречит

взаимному расположению точек S, I и K.
Второй способ. Используем без доказательства следующие факты.
Факт 1. AA0 и CC0 — высоты треугольника ABC; точка O — центр описанной окруж-
ности. Тогда прямые BO и A0C0 перпендикулярны (радиус описанной окружности перпен-
дикулярен стороне ортотреугольника).

Факт 2. Пусть X и Y — точки касания вписанной окружности со сторонами BC и
BA треугольника ABC, P — точка пересечения биссектрисы угла A с прямой XY. Тогда
∠APC = 90◦ (см. рис. 8-9.4б).
Вернемся к решению.
Рассмотрим точки P и L пересечения биссектрис углов A и C с прямой MN (см. рис. 8-

9.4в). Тогда ∠APC = ∠ALC = 90◦, то есть I — ортоцентр треугольника AXC, где X —
точка пересечения прямых AL и CP. Покажем, что точки S и X совпадают.
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO


AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC



Рис. 8–9.4в
Действительно, точка X лежит на луче KI, так как высоты треугольника пересекаются
в одной точке. Кроме того, ∠AXC = 180◦ − ∠AIC = 180◦ − (90◦ + 0,5∠ABC) = 60◦ = ∠ABC,

то есть точка X лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.
Следовательно, точки X и S совпадают, что и требовалось.
Осталось воспользоваться фактом 1 для треугольника ASC, то есть перпендикулярно-
стью SO и PL.
Комментарий 1. Факт 1 для остроугольного треугольника можно получить, используя равенства:
∠A0C0B = ∠ACB и ∠ABO = 90◦ − ∠ACB.
Комментарий 2. Факт 2 является частным случаем так называемой ”задачи 255” (классическая зада-
ча, которая была под этим номером в задачнике 9-11 И.Ф. Шарыгина). Доказать его можно, например,
рассмотрев окружность с диаметром CI.