Задание №180762: Устная олимпиада 2024

6. (Quan Tran) Дан остроугольный треугольник ABC и такая точка P внутри него, что
∠PBA = ∠PCA. Прямые PB и PC пересекают описанные окружности треугольников PCA и

PAB повторно в точках M и N соответственно. Пусть лучи MC и NB пересекаются в точке
S, K — центр описанной окружности треугольника SMN. Докажите, что прямые AK и
BC перпендикулярны.
Решение. Будем пользоваться следующим фактом.
Диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда равны
суммы квадратов его противолежащих сторон.
Докажем, что у четырехугольника ABKC диагонали перпендикулярны, то есть до-

кажем равенство сумм квадратов противолежащих сторон или равенство AB2 − AC2 =
= KB2 − KC2.


NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS





KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC



YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY






MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
Рис. 8–9.6

Из равенства углов следует, что окружности, указанные в условии, равны (см. рис. 8–
9.6). Кроме того, из равенства вписанных углов, опирающихся на одну дугу или на равные
дуги в равных окружностях, следует, что треугольники NAC и BAM — равнобедренные.
И, наконец, из равенства вертикальных углов с вершиной P, хорды BN и CM в равных
окружностях равны.
Следовательно, треугольники NAB и CAM равны, как и высоты AX и AY в них, про-
веденные к сторонам BN и CM, откуда XN = YC и SX = SY.
Вернемся к решению. Обозначим: NB = CM = 2a; SB = 2b; SC = 2c. Преобразуем

правую часть, используя равенство радиусов и заменив разность квадратов наклонных
разностью квадратов их проекций:
KB2−KC2 = KM2−KC2−(KM2−KB2) = (a+c)2−(a−c)2−((a+b)2−(a−b)2) = 4a(c−b).
С другой стороны: AB2 − AC2 = AB2 − AN2 = XB2 − XN2 = 2a(XB − YC) = 4a(c − b).
Комментарий 1. Указанный факт следует из того, что ГМТ, разность квадратов расстояний от которых
до двух данных точек постоянна, есть прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки.
Комментарий 2. Точка A — центр поворота, переводящего одну окружность в другую, а треугольник
NAB — в треугольник CAM.
Комментарий 3. Равенство отрезков BN и CM можно использовать иначе. Рассмотрим окружности, опи-
санные около треугольников SBC и SMN. Пусть T — вторая точка их пересечения, O — центр окружности,
описанной около треугольника SBC.
6

Тогда решение задачи можно получить из следующих утверждений: