Задание №180769: Устная олимпиада 2024

5. (А. Заславский)Через вершину D параллелограмма ABCD проведена произвольная
прямая l , пересекающая отрезок AB и прямую BC в точках C и A соответственно, и
1 1 1
произвольная прямая l , пересекающая отрезок BC и прямую AB в точках A и C соот-
2 2 2
ветственно. Найдите геометрическое место точек пересечения окружностей A BC и A BC
1 2 2 1
(отличных от точки B).
11

Ответ: дуга окружности, описанной около треугольника ABC, содержащая точку B (са-
му точку B, а также концы дуги следует исключить).

Решение. Рассмотрим одно из положений прямых l и l .
1 2
Пусть M — точка пересечения окружностей ABC и A BC , отличная от B (см. рис. 10-
2 1
11.5). Исходя из расположения точек A и C , точки M и B лежат в одной полуплоскости
2 1
относительно прямой AC, а также в одной полуплоскости относительно прямой A C .
1 2
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222


BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA 22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222 CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM


CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111


AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD
llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
Рис. 10–11.5
Докажем, что M также лежит и на окружности, описанной около треугольника A BC .
1 2
Заметим, что ∠MCB = ∠MAB, а ∠MC B = ∠MA B как вписанные, опирающиеся на
1 2
одну дугу. Следовательно, треугольники MCA и MAC подобны (можно было также вос-
2 1
пользоваться тем, что точка пересечения двух окружностей является центром пово-
MC CA
ротной гомотетии, переводящей одну в другую), откуда = 2 .
MA AC
1
Тогда достаточно будет доказать подобие треугольников MCA и MAC , то есть равен-
1 2
MC CA CA CA
ство = 1 или равенство 2 = 1 .
MA AC AC AC
2 1 2
Обозначим: AB = CD = a, BC = AD = b; CA = x; AC = y. Используя подобие тре-
2 1
(b − y)a ab
угольников BC A и AC D, получим: CA = a + = . Аналогично, из подобия
1 1 1 1
y y
ab CA x CA
треугольников BA C и CA D: AC = . Следовательно, 1 = = 2 , что и требовалось.
2 2 2 2
x AC y AC
2 1
Осталось заметить, что любая точка M указанной дуги удовлетворяет условию, по-
скольку найдется окружность, проходящая через точки B и M и пересекающая отрезки
AB и BC. Точки пересечения A и C этой окружности с указанными отрезками и опреде-
2 1
ляют положение прямых l и l .
1 2
Комментарий. Возможно также решение, использующее инверсию с центром в точке B.