Задание №180765: Устная олимпиада 2024
3. Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC касается со- 3. Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC касается соответствующей вневписанной окружности ω в точке T. Точка S симответствующей вневписанной окружности ω в точке T. Точка S симметрична T относительно биссектрисы угла C, CH — высота треметрична T относительно биссектрисы угла C, CH — высота треугольника. Докажите, что окружность, описанная около треугольниугольника. Докажите, что окружность, описанная около треугольника CSH, касается окружности ω. ка CSH, касается окружности ω.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Устная олимпиада 2024». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- пошаговое рассуждение
- проверка результата
Источник: Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив · 2024
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2024
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Устная олимпиада 2024» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Геометрия». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1. (А. Заславский) Пусть P — точка внутри остроугольного треугольника ABC, а A0,
B0, C0 — проекции P на BC, CA, AB соответственно. Докажите, что диаметр окружности,
описанной около треугольника A0B0C0, равен PC тогда и только тогда, когда окружность,
описанная около треугольника ABP, проходит через центр описанной окружности тре-
угольника ABC.
Решение. Заметим, что PC — диаметр окружности, описанной около треугольника
A0CB0, а точки C и C0 лежат по разные стороны от прямой A0B0 (см. рис. 10–11.1). Кроме
того, ∠A0C0B0 < ∠A0PB0 = 180◦ − ∠A0CB0, так как P лежит внутри треугольника A0B0C0.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
Рис. 10–11.1
И, наконец, окружности, описанные около треугольников A0CB0 и A0B0C0, имеют общую
хорду и равны тогда и только тогда, когда равны синусы углов A0CB0 и A0C0B0, то есть,
учитывая вышеизложенное, когда равны сами углы A0CB0 и A0C0B0.
Осталось доказать, что равенство этих углов равносильно тому, что точки A, P, O и B
лежат на одной окружности.
Поскольку четырехугольники AC0PB0 и BC0PA0 — вписанные, то ∠B0C0A0 = ∠B0C0P +
+ ∠A0C0P = ∠B0AP + ∠A0BP = ∠APB − ∠ACB, учитывая сумму углов четырехугольника.
Тогда равенство углов A0CB0 и A0C0B0 равносильно тому, что ∠APB = 2∠ACB = ∠AOB, что,
в свою очередь, эквивалентно расположению точек A, P, O и B на одной окружности.
Используемые формулы
того, ∠A0C0B0 < ∠A0PB0 = 180◦ − ∠A0CB0, так как P лежит внутри треугольника A0B0C0.Поскольку четырехугольники AC0PB0 и BC0PA0 — вписанные, то ∠B0C0A0 = ∠B0C0P ++ ∠A0C0P = ∠B0AP + ∠A0BP = ∠APB − ∠ACB, учитывая сумму углов четырехугольника.Тогда равенство углов A0CB0 и A0C0B0 равносильно тому, что ∠APB = 2∠ACB = ∠AOB, что,
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.