Задание №177688: Турнир Ломоносова 2013

3. «Шашки по кругу».
а) Первым ходом белые подставляют шашку под бой, следует раз
мен, далее после любого возможного хода чёрных белые сразу же побеж
дают.


24

б) Это частный случай пункта «в».




в) Понятно, что если кто-то ставит шашку под бой, он проигрывает.
Если в результате у игрока не осталось ни одной шашки — он проиграл
сразу. Если осталась одна шашка — соперник может «окружить» её
своими двумя шашками, при этом он всегда может придвинуть свою
шашку ближе к той клетке, откуда только что была убрана одиночная
шашка соперника, и тем самым не подставить свою шашку под бой.
Поскольку количество клеток, доступных одиночной шашке, с каждым
ходом сокращается, рано или поздно она попадёт под бой одной из двух
шашек соперника.








Ход, в результате которого не происходит снятия шашек с доски,
назовём простым.
До начала игры суммарное число полей между соседними разноцвет
ными шашками чётно (это все свободные поля доски). После простого
хода белых оно становится нечётным (но большим 1), а после ответ
ного хода чёрных снова чётным. Тем самым, у чёрных всегда есть ход.
При этом чёрные левой шашкой ходят только влево, а правой — только
вправо, отчего расстояние между чёрными шашками увеличивается,
что невозможно делать бесконечно, а поэтому игра вскоре окончится
их победой: одна из белых шашек попадёт под бой, чёрные её съедят и
далее выиграют двумя шашками против одной.
г) Изначально позиция игроков симметрична: против каждой белой
шашки стоит чёрная. Допустим, в ответ на каждый простой ход белых
(разрушающий симметрию) чёрные делают симметричный ход (он тоже
будет простым и восстановит симметрию). Так может продолжаться до
тех пор, пока белые не поставят шашку под бой. Но если не произойдёт
25

размена, белые, очевидно, проиграют: даже если у них останется две
шашки (а у чёрных три), чёрные, ходя средней шашкой, подгонят ситу
ацию к описанной в пункте «в» (когда суммарное число полей между
соседними разноцветными шашками чётно) и победят. Поставить же
шашку под бой и вынудить к размену белые могут только если их три
шашки стоят рядом. Но в этот момент шашки чёрных симметричны им,
и поставить белую шашку под бой невозможно.
д) Чёрные ведут игру следующим образом, однозначно определяя
ходы белых (то есть все ходы белых являются вынужденными):











Теперь ход белых, а чёрные шашки стоят симметрично белым отно
сительно центра игрового поля. Чёрные могут применять симметрич
ную стратегию. В решении пункта «в» описано, почему в данном случае
симметричная стратегия гарантирует ничью.
е) Приведём ничейную стратегию за белых. Она состоит в следу
ющем: сначала белые делают ход одной из своих шашек. Затем они,
если не возникает необходимости бить, ходят только средней шашкой
(передвигая её «туда-сюда» между крайними шашками).




При этом, очевидно, игра будет продолжаться сколь угодно долго,
пока чёрные не подставят свою шашку под бой белых. Ясно, что если
при этом не произойдёт размена, то белые будут иметь численное пре
имущество и легко победят. Размен возможен только если все три чёр


26

ные шашки перед ходом, требующим от белых взятия, будут стоять
подряд, через одно пустое поле от белой шашки.
Рассмотрим, как такая ситуация может возникнуть. После первого
хода белых (допустим, правой шашкой), чёрные шашки от белых справа
отделяет 2𝑁 4, а слева 2𝑁 3 пустых поля. Это понятно из рисунка
− −
(пунктирная линия делит игровое поле точно пополам, в каждой поло
вине находится 2𝑁 клеточек).
4𝑁 1 2
4𝑁 1 3
−
4
2
− 𝑁 к е
ч
3 о
т
к е
л л
е к
т
о ч 4
2𝑁+3 2𝑁 1 ек 2 𝑁−
2𝑁+2 2𝑁 −
2𝑁+1
Если через какое-то количество ходов чёрные шашки «строем» подо
шли к белым справа, то каждая чёрная шашка сделала по 2𝑁 5 ходов
−
вправо (а кроме того, какие-то шашки, возможно, двигались также и
влево, но эти ходы компенсировались дополнительными ходами вправо
в таком же количестве). То есть, чёрные сделали 3(2𝑁 5) + 2𝐾 ходов.
−
Это число нечётно. Центральная белая шашка также сделала нечётное
число ходов и встала ближе к той белой шашке, которая делала первый
ход.
Если же чёрные шашки подошли к белым слева, то каждая чёрная
шашка сделала по 2𝑁 4 ходов влево (а кроме того, какие-то шашки,
−
возможно, двигались также и вправо, но эти ходы компенсировались
таким же количеством дополнительных ходов влево). То есть, чёрные
сделали 3(2𝑁 4) + 2𝐾 ходов. Это число чётно. Центральная белая
−
шашка также сделала чётное число ходов и встала дальше от той
шашки, которая делала первый ход.
27

Видим, что обе ситуации одинаковые (зеркально симметричны друг
другу), поэтому достаточно для одной из них, скажем, для первой, разо
брать, что будет, если чёрные подставят шашку под бой.
Произойдёт размен, после которого возникнет ситуация, показанная
на рисунке.



4
𝑁
−
8
клеточек
Между белыми и чёрными шашками будет с одной стороны 4𝑁 8
−
пустых полей3, а с другой стороны — одно пустое поле. То есть общее
количество пустых полей, разделяющих шашки разных цветов, будет
нечётным. Ситуация стала аналогичной рассмотренной в пункте «в».
Теперь белые ходят как в пункте «в» — так, чтобы расстояние между
их шашками постоянно росло. После хода белых суммарное расстояние
станет чётным, после ответного хода чёрных — нечётным, и так далее.
Поскольку больше никому из игроков ставить шашку под бой нельзя,
это расстояние не может быть меньше двух, а поэтому перед ходом
белых — не меньше трёх, и у белых всегда будет безопасный ход. А так
как расстояние между белыми шашками будет постоянно расти, ходы
рано или поздно кончатся — и кончатся они у чёрных.
Итак, размен чёрным невыгоден, и при разумной игре чёрных пар
тия закончится вничью.
Задания для конкурса по математическим играм предложил и под
готовил А. В. Хачатурян.
3Так как по условию всего 4𝑁 полей, а на картинке нарисовано 8 из них.
28

Критерии оценивания

Общие положения