Задание №177744: Турнир Ломоносова 2014
3. «Гостиница». Два администратора гостиницы играют друг с другом. В гостинице 𝑁 одинаковых номеров. В начале игры в каждом номере живёт по одному человеку. За один ход администратор может всех жителей одного номера переселить в другой, а в освободившемся номере начать делать ремонт. При этом в номере не должно оказаться больше людей, чем мест. Администратор, который не может сделать ход, проигрывает. Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр? Рассмотрите случаи: а) номера шестиместные, 𝑁 = 10 б) номера трёхместные, 𝑁 = 15 в) номера трёхместные, 𝑁 = 17 г) номера трёхместные, 𝑁 любое д) номера четырёхместные, 𝑁 любое 24
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир Ломоносова 2014». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- пошаговое рассуждение
- проверка результата
Источник: Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив · 2014
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2014
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир Ломоносова 2014» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Другое». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. «Колода карт».
Решим сразу общую задачу (пункт «г»).
Ответ: выигрышным для второго игрока будет заключительное
положение, когда обе красные карты уже и так сверху колоды, а также
выигрышными будут такие положения, при которых между красными
картами одна чёрная, а над верхней красной картой — нечётное коли
чество чёрных.
Эти положения назовём «плохими», а остальные (но не заключитель
ное) — «хорошими».
Очевидно, что из плохого положения нельзя выиграть одним ходом.
Также из него нельзя перейти в другое плохое положение: единственный
шанс оставить между красными картами одну чёрную состоит в перене
сении нижней красной на три позиции вверх, но при этом чёрных карт
над верхней красной станет чётное число.
Напротив, из хорошей позиции одним ходом всегда можно или немед
ленно выиграть, или перейти к другой плохой позиции. В самом деле,
если верхняя красная карта сверху, можно сразу выиграть. Если над
верхней красной картой нечётное число чёрных, то можно нижнюю
карту переместить так, чтобы между нею и верхней была одна чёрная
(это нельзя сделать только, если красные карты рядом, но тогда можно
мгновенно победить). Если же над верхней красной картой чётное поло
жительное число чёрных, то можно нижнюю карту переместить в такую
позицию над верхней, чтобы между нею и верхней была одна чёрная.
Теперь ясно, что начиная из хорошего положения, игрок либо сразу
побеждает, либо создаёт плохое положение, соперник снова делает хоро
шее (ничего другого он сделать не может) и так далее. Поскольку сопер
ник победить не может, победит начинающий.
А если начальное положение плохое, то игроки меняются ролями, и
побеждает уже второй игрок.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.