Задание №177687: Турнир Ломоносова 2013
2. «Колы и двойки». Две учительницы математики по очереди пишут в журнале подряд слева направо оценки — единицы или двойки. Если в какой-то момент несколько написанных в конце цифр соста вили число, которое делится на 𝑁 без остатка, учительница, сделавшая такой ход, проигрывает. Кто из учительниц — начинающая или её сопер ница — победит в этой игре, как бы ни играла партнёрша? Разберите случаи: а) 𝑁 = 7; б) 𝑁 = 9; в) 𝑁 = 11; г) 𝑁 = 13. 21
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир Ломоносова 2013». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- пошаговое рассуждение
- проверка результата
Источник: Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив · 2013
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Турнир имени М. В. Ломоносова — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2013
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир Ломоносова 2013» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Другое». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. «Колы и двойки».
а) При 𝑁 = 7 победит первая. Она пишет 2, далее единицы писать
никто не может (21 = 7 3), а когда первая напишет 22222, у второй не
·
будет хода, ибо 222222 кратно 7 (а числа 22222, 2222, 222 и 22 на 7 не
делятся).
б) При 𝑁 = 9 победит первая. Она пишет 2, а потом на любой ход
второй дописывает 1. Получается либо 221, либо 211. Далее на любой
ход второй первая дописывает другую цифру. Получается либо 2213,
либо 2113 (цифра «3» условно заменяет последовательности «21» или
«12»; напомним, что число делится на 9 тогда и только тогда, когда
на 9 делится сумма его цифр). Теперь ход второй однозначен, полу
чаем 22132, либо 21131, а потом первая дописывает двойку и побеждает,
потому что больше ходов нет (последовательности 221322 и 211312 не
продолжаются).
в) При 𝑁 = 11 победит первая. Она пишет 2, вторая может только
21, первая тогда 212, чем и выигрывает. (Так как и 22, и 121 делятся
на 11.)
г) При 𝑁 = 13 победит первая. Она пишет 1. После 1 нельзя
писать 2, иначе последует 122, а тогда ничего больше не напишешь, ибо
1222 = 13 94, а 221 = 13 17. Так что пишем единицы, пока первая не
· ·
напишет 11111 и победит, ибо 111111 = 13 7 11 3 37. Это рассужде
· · · ·
ние, правда, не сработало бы, если бы числа 11122 или 1111122 делились
на 13; но легко проверить, что это не так.
Используемые формулы
а) При 𝑁 = 7 победит первая.никто не может (21 = 7 3), а когда первая напишет 22222, у второй неб) При 𝑁 = 9 победит первая.в) При 𝑁 = 11 победит первая.г) При 𝑁 = 13 победит первая.1222 = 13 94, а 221 = 13 17.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.