Задание №176672: ОММО 2026
Задача 9. Найдите все функции f : R → R, удовлетворяющие при всех x,y ∈ R уравнению 2(f(x) + f(y)) = max{2f(x + y),x − y,y − x}.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2026» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2026
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2026
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 9. Найдите все функции f : R → R, удовлетворяющие при всех x,y ∈ R уравнению
2(f(x) + f(y)) = max{2f(x + y),x − y,y − x}.
Ответ: f(x) = |x|.
2
Решение. Подставим:
y = x 4f(x) = max(2f(2x),0) =⇒ f(x) ⩾ 0.
y = x = 0 4f(0) = max(2f(0),0) = 2f(0) =⇒ f(0) = 0.
|x|
y = 0 2f(x) = max(2f(x),x,−x) ⩾ max(x,−x) = |x| =⇒ f(x) ⩾ .
2
y = −x 2(f(x) + f(−x)) = max(2f(0),2x,−2x) = max(2x,−2x) = 2|x| =⇒ f(x) + f(−x) = |x|.
Учитывая, что
|x| | − x|
f(x) ⩾ и f(−x) ⩾ , (1)
2 2
получаем
|x| = f(x) + f(−x) ⩾ |x|.
Значит, неравенства в (1) являются равенствами. В частности, f(x) = |x| при всех вещественных x.
2
Покажем, что найденная функция удовлетворяет условию задачи.
При xy ⩾ 0
2(f(x) + f(y)) = |x| + |y| = |x + y|,
2(f(x) + f(y)) = |x| + | − y| ⩾ |x − y|,
2(f(x) + f(y)) = max(|x + y|,|x − y|) = max(2f(x + y),|x − y|).
При xy ⩽ 0
2(f(x) + f(y)) = |x| + | − y| = |x − y|,
2(f(x) + f(y)) = |x| + |y| ⩾ |x + y|,
2(f(x) + f(y)) = max(|x + y|,|x − y|) = max(2f(x + y),|x − y|).
Что равносильно уравнению из условия задачи.
Используемые формулы
2(f(x) + f(y)) = max{2f(x + y),x − y,y − x}.Ответ: f(x) = |x|.y = x 4f(x) = max(2f(2x),0) =⇒ f(x) ⩾ 0.y = x = 0 4f(0) = max(2f(0),0) = 2f(0) =⇒ f(0) = 0.y = 0 2f(x) = max(2f(x),x,−x) ⩾ max(x,−x) = |x| =⇒ f(x) ⩾ .y = −x 2(f(x) + f(−x)) = max(2f(0),2x,−2x) = max(2x,−2x) = 2|x| =⇒ f(x) + f(−x) = |x|.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.