Задание №176271: ОММО 2016
Задача 6. Вычислите 2arctg 3 + arcsin . 5
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2016» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2016
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2016
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2016» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 8. При каких значениях параметра a уравнение x3 + ax2 + 13x − 6 = 0 имеет единственное
решение?
Ответ: (−∞,−8) ∪ (−20/3,61/8).
Решение. Заметим, что x = 0 не является решением исходного уравнения. Поэтому оно равносильно
−x3 − 13x + 6
уравнению a = (*). Обозначим правую часть через f(x).
x2
Заметим, что f(x) → +∞ при x → −∞ и f(x) → −∞ при x → +∞. Также f(x) имеет вертикаль-
ную асимптоту x = 0.
x3 − 13x + 12 (x − 3)(x − 1)(x + 4)
Производная функции f(x) равна f(cid:48)(x) = − = − .
x3 x3
Значит, функция f(x) на промежутке (−∞,−4] убывает от +∞ до f(−4) = 61/8; на промежутке
[−4,0) — возрастает от 61/8 до +∞; на промежутке (0,1] — убывает от +∞ до f(1) = −8; на
промежутке [1,3] — возрастает от −8 до f(3) = −20/3; наконец, на промежутке [3,+∞) — убывает
от −20/3 до −∞.
Таким образом, каждое значение из промежутка (−∞;−8) функция f(x) принимает ровно один
раз; −8 — два раза; из промежутка (−8;−20/3) — три раза; −20/3 — два раза; из промежутка
(−20/3;61/8) — один раз; 61/8 — два раза; из промежутка (61/8;+∞) — три раза. (Например, зна-
чение −8 функция примет один раз в точке 1, а второй раз — на промежутке (3,+∞)).
Следовательно, уравнение (*), а с ним и исходное уравнение, имеет единственное решение при
a ∈ (−∞,−8) ∪ (−20/3,61/8).
Используемые формулы
При каких значениях параметра a уравнение x3 + ax2 + 13x − 6 = 0 имеет единственноеЗаметим, что x = 0 не является решением исходного уравнения.уравнению a = (*).ную асимптоту x = 0.Производная функции f(x) равна f(cid:48)(x) = − = − .Значит, функция f(x) на промежутке (−∞,−4] убывает от +∞ до f(−4) = 61/8;
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.