Задание №175256: Задание 5
5. Попугай Роза знает все четыре звука своего имени и умеет произносить «слова» длиной от 1 до 𝑛 звуков. При этом она не умеет произносить два одинаковых звука подряд. Сколько разных «слов» может сказать Роза? Запишите ответ в замкнутой форме (без многоточий и знаков суммирования). (О. С. Третьякова)
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 5» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 5» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
5. Попугай Роза знает все четыре звука своего имени и умеет произносить «слова» длиной от
1 до 𝑛 звуков. При этом она не умеет произносить два одинаковых звука подряд. Сколько
разных «слов» может сказать Роза? Запишите ответ в замкнутой форме (без многоточий и
знаков суммирования). ( О. С. Третьякова)
Ответ: 2 · 3𝑛 − 2 слов.
Решение. Рассмотрим слова длины 𝑘. Первый звук может быть любой из 4; второй — любой
из 3, так как не может быть равен первому; третий — тоже любой из 3, так как не может быть
равен второму; и так далее.
Таким образом, Роза может сказать 4 · 3𝑘−1 слов длины 𝑘, а общее количество слов длины от 1
до 𝑛 равно сумме таких слагаемых для всех значений 𝑘:
∑︁ 𝑛 3𝑛 − 1
4·3𝑘−1 = 4·30 +4·31 +4·32 +· · ·+4·3𝑛−1 = 4· (30 +31 +32 +· · ·+3𝑛−1 ) = 4· = 2· (3𝑛 −1).
3 − 1
𝑘=1
Критерии. Если найден ответ в незамкнутой форме, то ставится 4 балла.
Используемые формулы
4·3𝑘−1 = 4·30 +4·31 +4·32 +· · ·+4·3𝑛−1 = 4· (30 +31 +32 +· · ·+3𝑛−1 ) = 4· = 2· (3𝑛 −1).𝑘=1
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.