Задание №175242: Задание 5
5. Если в начало натурального числа дописать одну цифру, то получится квадрат этого числа. Найдите самое большое такое число. (П. Д. Муленко)
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 5» и рассчитано на уровень 8 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 5» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
5. Если в начало натурального числа дописать одну цифру, то получится квадрат этого числа.
Найдите самое большое такое число. ( П. Д. Муленко)
Ответ: 25.
Решение. Если число хотя бы трёхзначное, то его квадрат будет минимум на 2 цифры длин-
нее (1002 = 10000), поэтому искомое число (пусть 𝑎𝑏) не более чем двузначное:
(𝑎𝑏) 2 = 𝑘𝑎𝑏 ⇔ (𝑎𝑏) 2 = 𝑘00 + 𝑎𝑏 ⇔ 𝑎𝑏 · (𝑎𝑏 − 1) = 100𝑘,
где 𝑘 — дописанная цифра.
Чтобы произведение двух последовательных чисел делилось на 100, одно из них должно де-
литься на 25. При этом𝑎𝑏 < 32, так как 322 = 1024 — уже четырёхзначное число. Таким образом,
𝑎𝑏 может быть равно 25 или 26, но только в первом случае квадрат отличается от самого числа
только первой цифрой: 252 = 625, 262 = 676.
Таким образом, наибольшее такое число — 25.
Примечание. Более того, 25 — это единственное такое двузначное число.
Критерии. Только ответ — 1 балл. Замечание о том, что исходное число не может содержать более
двух цифр — 2 балла.
Используемые формулы
нее (1002 = 10000), поэтому искомое число (пусть 𝑎𝑏) не более чем двузначное:(𝑎𝑏) 2 = 𝑘𝑎𝑏 ⇔ (𝑎𝑏) 2 = 𝑘00 + 𝑎𝑏 ⇔ 𝑎𝑏 · (𝑎𝑏 − 1) = 100𝑘,При этом𝑎𝑏 < 32, так как 322 = 1024 — уже четырёхзначное число.только первой цифрой: 252 = 625, 262 = 676.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.