Задание №177789: Турнир Ломоносова 2004

7. (+5;−2) 28%
Теперь заметим, что если оба числа в характеристике кратны трём,
то любой ход это свойство нарушает, напротив, если свойство нарушено,
то существует ход, который его восстанавливает. Номера таких ходов
приведены в таблице (по вертикали остаток от деления на 3 первого
показателя, по горизонтали — второго):
0 1 2
0 — 10 3
1 14 9 2
2 13 8 1
Итак, ответ к нашему заданию таков: если исходное число имело
вид m · 2n · 5k, где m не делится ни на 2, ни на 5, а числа n и k оба
21

делятся на 3, то проиграет первый игрок (такое число называется про-
игрышным), иначе второй. В самом деле, после любого хода первого с
проигрышного числа число перестаёт иметь указанный вид (становится
выигрышным), и второй может нужным ходом из таблицы снова сделать
его проигрышным. Если же первый начинает с выигрышного числа, то
первым ходом он делает его проигрышным и далее действует по тому
же принципу. Заметим также, что любой ход уменьшает хотя бы одну
компоненту характеристики, поэтому игра рано или поздно закончится
в (проигрышном) положении (0; 0). Для приведённых в задании чисел
характеристики таковы:
а) (3; 3) (проигрышная);
б) (4; 1) (выигрышная);
в) (3; 2) (проигрышная);
г) (k; 0) (зависит от делимости k на 3).
В заключение приведём несколько забавных цитат из работ участни-
ков конкурса. В основном, они свидетельствовали о не совсем обычном
понимании условия игры и термина «стратегия»:
— За какого бы игрока я не играл, я всегда должен начинать первым.
— Существует стратегия, при которой может выиграть как первый, так
и второй игрок.
— При неправильной игре выигрывает первый, а при правильной —
второй.
Традиционно многие участники конкурса, особенно юные, воспри-
нимают математическую игру как собственно игровое действие, где
важен интеллект, внимание, психологический расчёт:
— В любом случае победит тот, кто мыслит быстрее и проворнее.
— Мне кажется, что победит первый игрок, потому что второй игрок
скорее всего решит, что для выигрыша нужно повторять ходы за
первым игроком, а это неверно.
Один грустный семиклассник, полчаса просидев над тетрадью, при-
знался ведущим: «Я вот тут играю сам с собой и за первого, и за
второго, и всё время проигрываю...» Организаторы конкурса советуют
всем не падать духом, желают больших творческих успехов и называют
авторов заданий конкурса. Игру №1 предложил Михаил Раскин, игру
№2 — Игорь Акулич, игру №4 — Александр Хачатурян, игру №5 — Алек-
сей Заславский. Игра же №3 не новая — она была в качестве задачи на
Московской математической олимпиаде в 1969 году (первая задача для
9-х (по старой нумерации) классов).
22