Задание №176819: Турнир городов
3. Взяли все 100-значные натуральные числа, в десятичной записи которых 4 каждая цифра — какая-то из цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сколько из этих чисел делятся на 2100? Павел Кожевников
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3. [4] Взяли все 100-значные натуральные числа, в десятичной записи которых каждая
цифра – какая-то из цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сколько из этих чисел делятся на 2100?
Павел Кожевников
Ответ: 3100 чисел. Решение. Докажем по индукции, что есть ровно 3n хороших
n-значных чисел (кратных 2n и составленных из указанных цифр). База (n = 1) очевидна.
Шаг индукции. Если у хорошего (n+1)-значного числа стереть первую цифру, получится
хорошее n-значное число (поскольку, стирая цифру x, мы вычитаем из числа, кратного
2𝑛+1, число 𝑥10𝑛, кратное 2𝑛).
С другой стороны, хорошее n-значное число имеет вид 𝑦 · 2𝑛. Приписывая к нему слева
цифру x, мы добавляем число (𝑥 · 5𝑛)2𝑛, и сумма будет делиться на 2𝑛+1 тогда и только
тогда, когда число 𝑦 + 𝑥 · 5𝑛 чётно, то есть, когда x+y чётно. Видно, что для чётных y в
качестве x подходят в точности чётные цифры 2, 4, 6, а для нечётного у – в точности
нечётные цифры 3, 5, 7. Значит, хороших (n+1)-значных чисел в 3 раза больше, чем
хороших n-значных.
Используемые формулы
База (n = 1) очевидна.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.