Задание №175317: Задание 3

3. Буратино посадил на Поле Чудес монету, из которой прорастёт денежное дерево, на конце

2


каждой веточки которого будет висеть по монете. Раз в месяц монеты приносят «потомство»:
если монета была золотая, то из неё вырастает 5 веточек с серебряной монетой на каждой,
а если серебряная, то две веточки с золотой монетой на каждой. Старые монеты при этом
исчезают.

(a) Через некоторое время Буратино собрал с дерева весь урожай — 2000 монет. Какую монету
посадил Буратино и сколько месяцев он ждал?
(b) Кот Базилио утверждает, что он тоже посадил монету и через некоторое время обнаружил,
что на его дереве 4000 монет. Может ли он говорить правду? ( П. Д. Муленко)

Ответ: (a) Буратино посадил серебряную монету и ждал 7 месяцев; (b) нет.
Решение (a). Из условия следует, что если в текущем месяце все монеты на дереве были се-
ребряные, то в следующем будут золотые, и наоборот. Таким образом, монеты чередуются,
поэтому их общее количество умножается то на 2, то на 5.

2000 = 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2, то есть из самой первой монеты проросло 2 веточки (то есть Буратино
посадил серебряную монету), и ждать потребовалось ровно 7 месяцев.
Решение (b). Как было показано в пункте (a), монеты чередуются, поэтому их общее количе-
ство умножается то на 2, то на 5. Если Базилио посадил серебряную монету, то через 7 месяцев

на его дереве будет 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 = 2000 монет (как и получилось у Буратино), а через 8
месяцев их станет в 5 раз больше, то есть уже 10000 монет. А если Базилио посадил золотую
монету, то через 6 месяцев на его дереве будет 5·2·5·2·5·2 = 1000 монет, а ещё через месяц их
будет в 5 раз больше, то есть 5000. И в том, и в другом случае количество монет в какой-то ме-

сяц меньше 4000, а в следующий уже больше 4000, то есть ровно 4000 монет Базилио получить
никак не мог.
Другое решение (b). Как было показано в пункте (a), монеты чередуются, поэтому их общее
количество умножается то на 2, то на 5. Из этого, в том числе, следует, что в любой момент

количество монет на дереве равно произведению нескольких двоек и пятерок, причём коли-
чество двоек и пятёрок не может отличаться больше чем на 1. Но 4000 равно произведению 3
пятёрок и 5 двоек, поэтому такое количество монет не могло получиться.

Критерии. Пункт (a) оценивается в 3 балла — по 1 баллу за ответ, пример и доказательство единствен-
ности.
Пункт (b) оценивается из 4 баллов:
Приведён только ответ «да» или «нет» — 0 баллов;
В 1-м решении каждый разобранный случай даёт по 2 балла;

Во 2-м решении отсутствие объяснения, почему степени 2 и 5 могут отличаться на 0 или ±1 — −1 балл.