Задание №175323: Задание 3
3. Пусть 𝑁 — натуральное число, состоящее из 2026 цифр. Из них 46 цифр равны нулю, а количества остальных цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) находятся в соотношении 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8 : 9 (именно в таком порядке). Докажите, что число 𝑁 не может оказаться точным квадратом. ( Л. С. Корешкова) Решение. Обозначим количество единиц в числе за 𝑥. Тогда двоек — 2𝑥, троек — 3𝑥, ..., девяток — 9𝑥, и всего цифр в числе 𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 + ... + 9𝑥 + 46 = 2026, откуда 45𝑥 = 1980, и 𝑥 = 44. Тогда сумма цифр равна 44 · (1 · 1 + 2 · 2 + . . . + 9 · 9) + 46 · 0 = 44 · 285, то есть делится на 3, но не на 9. Значит, и 𝑁 кратно трём, но не 9, а такое число не может быть точным квадратом. Критерии. Найдено количество единиц — 1 балл. Рассуждение в целом верное, но допущена арифметическая ошибка, не повлиявшая на делимость — 5 баллов.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 3» и рассчитано на уровень 6 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 3» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3. Пусть 𝑁 — натуральное число, состоящее из 2026 цифр. Из них 46 цифр равны нулю, а коли-
чества остальных цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) находятся в соотношении 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8 : 9
(именно в таком порядке). Докажите, что число 𝑁 не может оказаться точным квадратом.
( Л. С. Корешкова)
Решение. Обозначим количество единиц в числе за 𝑥. Тогда двоек — 2𝑥, троек — 3𝑥, ..., девя-
ток — 9𝑥, и всего цифр в числе 𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 + ... + 9𝑥 + 46 = 2026, откуда 45𝑥 = 1980, и 𝑥 = 44.
Тогда сумма цифр равна 44 · (1 · 1 + 2 · 2 + . . . + 9 · 9) + 46 · 0 = 44 · 285, то есть делится на 3, но
не на 9. Значит, и 𝑁 кратно трём, но не 9, а такое число не может быть точным квадратом.
Критерии. Найдено количество единиц — 1 балл.
Рассуждение в целом верное, но допущена арифметическая ошибка, не повлиявшая на делимость — 5
баллов.
Используемые формулы
+ 9𝑥 + 46 = 2026, откуда 45𝑥 = 1980, и 𝑥 = 44.+ 9 · 9) + 46 · 0 = 44 · 285, то есть делится на 3, но
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.