Задание №175254: Задание 3
3. В каждой клетке таблицы 4 × 5 стоит натуральное число. При этом все числа различны, но суммы во всех строках одинаковы и во всех столбцах тоже одинаковы. Какова минимально возможная сумма чисел в таблице? (А. А. Теслер)
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 3» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 3» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3. В каждой клетке таблицы 4 × 5 стоит натуральное число. При этом все числа различны, но
суммы во всех строках одинаковы и во всех столбцах тоже одинаковы. Какова минимально
возможная сумма чисел в таблице? ( А. А. Теслер)
Ответ: 1 + 2 + · · · + 10 + 12 + 13 + · · · + 21 = 220.
Решение. Меньше нельзя из соображений делимости. Действительно, сумма чисел от 1 до 20
равна 210. Но сумма чисел в таблице должна делиться на 4 и на 5, то есть на 20; минимальная
подходящая сумма, не меньшая 210, равна 220. Пример таблицы с суммой 220:
21 1 17 9 7
2 20 5 12 16
18 4 9 10 15
3 19 14 13 6
Критерии. 5 баллов за пример и 2 балла за доказательство, что меньше не получится.
Используемые формулы
Ответ: 1 + 2 + · · · + 10 + 12 + 13 + · · · + 21 = 220.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.