Задание №175247: Задание 3

3. На острове радиусом 40 км находятся несколько колодцев. Колодец называется отдалённым,
если на расстоянии ближе 25 км от него нет ни моря, ни другого колодца. Какое максимальное
количество отдалённых колодцев может быть на острове? ( А. А. Теслер)

Ответ: 3.

16


Решение.
Пусть 𝑂 — центр острова. Колодцы должны располагаться в круге с центром
𝑂 и радиусом 15, иначе они будут слишком близко к морю. Если вписать в
этот круг равносторонний треугольник, то расстояние между его вершинами
√
будет 15 3 > 25, что даёт пример для трёх колодцев.
Докажем, что 4 колодца не поместятся. Четыре колодца, расположен-
ные в круге, можно обозначить буквами 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷 в таком порядке, что
∠𝐴𝑂𝐵 + ∠𝐵𝑂𝐶 + ∠𝐶𝑂𝐷 + ∠𝐷𝑂𝐴 = 360◦ (возможно, один из этих углов

больше 180◦). Пусть, например, ∠𝐴𝑂𝐵 — наименьший из этих углов, тогда
∠𝐴𝑂𝐵 ⩽ 90◦. Тогда существует сектор с центром 𝑂 и углом 90◦, содержащий
точки 𝐴 и 𝐵. Этот сектор помещается внутри квадрата со стороной 15, а рас-
√
стояние между любыми двумя точками этого квадрата не больше 15 2 < 25.
Критерии. Только пример — 2 балла плюс ещё 1 балл за доказательство того, что он подходит.
Только оценка — 4 балла.