Задание №175240: Задание 3

3. У Павла есть много деревянных кубиков и наклеек с цифрами. Из двух ку-
биков можно изготовить сувенирный календарь — для этого надо накле-
ить на каждую грань обоих кубиков по наклейке так, чтобы с их помощью

можно было сложить любой день месяца (то есть любое число от 01 до 31;
на рисунке представлен пример числа 18). Павел планирует открыть бизнес по производству
сувенирных календарей, причём хочет, чтобы каждое изделие было уникальным. Сколько
различных календарей он может сделать?
Павел считает два календаря одинаковыми, если для каждого кубика из первого календаря
есть такой же кубик во втором. В свою очередь, два кубика одинаковы, если можно поставить
их рядом так, чтобы с каждой из шести сторон наклейки на этих кубиках были одинаковыми

(возможно, по-разному повёрнутыми). ( М. В. Карлукова)

Ответ: 9000 календарей.

Решение. Так как среди чисел присутствуют 11 и 22, цифры 1 и 2 должны быть на обоих
кубиках. Более того, поскольку первые 9 дат от 01 до 09 содержат 0, цифра 0 тоже должна при-
сутствовать на обоих кубиках (так как не все цифры от 3 до 9 поместятся на одном кубике).
Таким образом, на каждом кубике 3 грани заняты цифрами 0, 1 и 2, то есть остаётся 6 мест для
остальных цифр от 3 до 9. Несмотря на то что это 7 различных цифр, Павел может справиться,
если наклеит только одну из цифр 6 и 9 — действительно, одна цифра получается из другой

переворотом.
Итак, Павлу надо разместить на каждый из кубиков цифры 0, 1, 2 и три цифры из набора от 3
до 8. Поскольку расположение цифр на кубике Павлу не важно, количество различных кален-
дарей ограничено количеством способов разделить цифры от 3 до 8 на две равные группы по

3 цифры на каждый из кубиков. Выбрать 3 цифры на первый кубик можно
6! 6 · 5 · 4
𝐶3 = = = 20
6 3! · 3! 3 · 2 · 1
способами, но порядок кубиков нам не важен — например, разбиение цифр на {3, 4, 5} для

первого кубика и {6, 7, 8} для второго равнозначно разбиению на {6, 7, 8} для первого кубика
и {3, 4, 5} для второго — поэтому у Павла есть всего 20/2 = 10 различных способов выбрать
цифры на каждый из кубиков.
Наконец, их осталось расставить. Наклеим на каждый из кубиков цифру 0 и поставим их так,

чтобы календарь показывал 00. Тогда для противоложной цифры на задней грани есть 5 кан-
дидатов, а остальные четыре цифры надо поставить вокруг «кольца» из 4 граней, то есть для
каждой возможной расстановки есть 4 повтора из-за поворота кубика.
Итого у Павла есть 5 · 4!/4 = 30 способов расставить числа на каждом из кубиков, то есть он
может сделать 10 · 302 = 9000 различных календарей.


Критерии. Баллы суммируются.
Цифры 0, 1, 2 должны быть на каждом кубике — 1 балл.
Вариантов выбрать цифры на кубик = 20 — 1 балл.
Учтено, что различных пар кубиков на самом деле 10 — +1 балл.
Оставшиеся 4 балла стоит понимание, что расставить числа на кубике можно 30 вариантами.

Таким образом, решение с ответом 18000 (а не 9000) стоит 6 баллов.

13