Задание №175233: Задание 3

3. У Паши есть много деревянных кубиков и наклеек с цифрами. Из двух ку-
биков можно изготовить сувенирный календарь — для этого надо накле-
ить на каждую грань обоих кубиков по наклейке так, чтобы с их помощью
можно было сложить любой день месяца (то есть любое число от 01 до 31;

на рисунке представлен пример числа 18). Паша хочет сделать подарить каждому своему дру-
гу особую версию такого календаря. Сколько различных календарей он может сделать?
Паша считает два календаря различными, если в одном из них есть кубик с неким набором
наклеек, а в другом кубика с таким же набором наклеек нет; расположение цифр на гранях
Паша не учитывает. ( М. В. Карлукова)

Ответ: 10 календарей.

Решение. Так как среди чисел присутствуют 11 и 22, цифры 1 и 2 должны быть на обоих
кубиках. Более того, поскольку первые 9 дат от 01 до 09 содержат 0, цифра 0 тоже должна при-
сутствовать на обоих кубиках (так как не все цифры от 3 до 9 поместятся на одном кубике).
Таким образом, на каждом кубике 3 грани заняты цифрами 0, 1 и 2, то есть остаётся 6 мест для
остальных цифр от 3 до 9. Несмотря на то что это 7 различных цифр, Паша может справиться,
если наклеит только одну из цифр 6 и 9 — действительно, одна цифра получается из другой

переворотом.
Итак, Паше надо разместить на каждый из кубиков цифры 0, 1, 2 и три цифры из набора от 3
до 8. Поскольку расположение цифр на кубике Паше не важно, количество различных кален-
дарей ограничено количеством способов разделить цифры от 3 до 8 на две равные группы по

3 цифры на каждый из кубиков. Выбрать 3 цифры на первый кубик можно
6! 6 · 5 · 4
𝐶3 = = = 20
6 3! · 3! 3 · 2 · 1
способами, но порядок кубиков нам не важен — например, разбиение цифр на {3, 4, 5} для

первого кубика и {6, 7, 8} для второго равнозначно разбиению на {6, 7, 8} для первого кубика
и {3, 4, 5} для второго — поэтому Паша может сделать всего 20/2 = 10 различных календарей.

Критерии. Только ответ — 1 балл. Показано, что на обоих кубиках должны быть цифры 1 и 2 — +1 балл.
Показано, что на обоих кубиках должна быть цифра 0 — +1 балл. Не учтено, что порядок кубиков не
важен (получается 20 вместо 10) — −2 балла. Подсчитано число способов с учетом расположения цифр
на гранях — −2 балла.