Задание №180464: Устная олимпиада 2023
2. Многоугольник. Внутри выпуклого многоугольника нашлась точка, которая до середины каждой стороны, кроме одной, удалена на половину этой стороны. Обязательно ли это верно и для оставшейся стороны?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Устная олимпиада 2023» и рассчитано на уровень 7 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Устная олимпиада 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. Многоугольник. Внутри выпуклого многоугольника нашлась точка, которая до
середины каждой стороны, кроме одной, удалена на половину этой стороны. Обязательно
ли это верно и для оставшейся стороны?
А. Пешнин
Ответ: обязательно.
Решение. Рассмотрим фрагмент данного многоугольника
(см. рисунок, Р – указанная точка, АВ – одна из сторон, для
которой выполняется условие, М – середина АВ). По
условию РМ = 0,5АВ, значит, ∠АРВ = 90°. Аналогичное
утверждение верно для всех сторон, кроме той, которая
выделена в условии. Значит, полный угол вокруг точки Р, равный 360°, разбивается на
несколько слагаемых по 90°, а оставшееся слагаемое меньше 180°. Тогда оно также
равно 90°, то есть оставшийся треугольник также прямоугольный, поэтому его медиана,
проведённая к гипотенузе, равна её половине. Следовательно, и от середины оставшейся
стороны точка Р удалена на половину этой стороны.
Из приведённого рассуждения следует, что многоугольник, указанный в условии,
является четырёхугольником, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в
точке Р.
Используемые формулы
условию РМ = 0,5АВ, значит, ∠АРВ = 90°.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.