Задание №177294: Турнир городов
2. На плоскости зафиксированы луч с вершиной A и точка P вне прямой, содержащей этот луч. На луче выбирают переменную точку K, затем на продолжении AK за точку K отмечают точку N так, что NK = 1, а на прямой PK отмечают точку M (отличную от K) так, что NM = 1. Докажите, что все прямые NM, полученные таким образом, касаются одной окружности. Егор Бакаев
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. На плоскости зафиксированы луч с вершиной A и точка P вне прямой,
содержащей этот луч. На луче выбирают переменную точку K, затем на про- Q
должении AK за точку K отмечают точку N так, что NK = 1, а на прямой P
PK отмечают точку M (отличную от K) так, что NM = 1. Докажите, что
все прямые NM, полученные таким образом, касаются одной окружности.
Е.Бакаев
Рассмотрим точку Q такую, что PQNK — параллелограмм. Легко видеть, что N
A
Q фиксированная, т.е. не зависит от выбора точки K. Тогда NQ ∥ KM, значит K
NQ — внешняя биссектриса равнобедренного треугольника KNM. Поэтому Q
M
равноудалена от данной прямой NK и прямой NM. Тем самым, окружность
(фиксированная!) с центром в точке Q, касающаяся прямой NK, касается также
прямой NM.
Используемые формулы
должении AK за точку K отмечают точку N так, что NK = 1, а на прямой PPK отмечают точку M (отличную от K) так, что NM = 1.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.