Задание №177106: Турнир городов
2. По кругу лежат 2n+1 монет орлом вверх. Двигаясь по часовой стрелке, делают 2n + 1 переворотов: переворачивают какуюто монету, одну монету пропускают и переворачивают следу- 4 ющую, две монеты пропускают и переворачивают следующую, три монеты пропускают и переворачивают следующую, и т.д., наконец пропускают 2n монет и переворачивают следующую. Докажите, что теперь ровно одна монета лежит решкой вверх. Владимир Расторгуев
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. [4] По кругу лежит 2n + 1 монета орлом вверх. Двигаясь по часовой стрелке, делают
2n + 1 переворот: переворачивают какую-то монету, одну монету пропускают и переворачивают
следующую, две монеты пропускают и переворачивают следующую, три монеты пропускают и
переворачивают следующую, и т.д., наконец пропускают 2n монет и переворачивают следующую.
Докажите, что теперь ровно одна монета лежит решкой вверх.
В. Расторгуев
Решение. Пусть (n – 1)-я перевёрнутая монета – X,
а n-я – Y. Тогда между X и Y по часовой стрелке
лежит n – 1 монет, а раз всего монет в круге 2n + 1, то
между Y и Х по часовой стрелке лежит n монет (см.
рисунок). Это значит, что (n + 1)-й мы снова перевернём
монету X.
И далее мы будем переворачивать уже
переворачивавшиеся монеты, но в обратном порядке:
ведь пропустить по часовой стрелке n + 1 монет – всё
равно, что пропустить против часовой стрелки n – 2
монет, ..., пропустить по часовой стрелке 2n – 2 монет – всё равно, что пропустить против часовой
стрелки 1 монету. А на последних двух шагах мы перевернём одну и ту же монету.
В итоге решкой вверх будет лежать только монета Y – она переворачивалась нечётное число
раз, а все остальные монеты – чётное.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.