Задание №177092: Турнир городов
2. На острове живут рыцари, лжецы и подпевалы; каждый знает про всех, кто из них кто. В ряд построили всех 2018 жителей острова и попросили каждого ответить «Да» или «Нет» на вопрос: «На острове рыцарей больше, чем лжецов?». Жители отвечали по очереди и так, 6 что их слышали остальные. Рыцари отвечали правду, лжецы лгали. Каждый подпевала отвечал так же, как большинство ответивших до него, а если ответов «Да» и «Нет» было поровну, давал любой из этих ответов. Оказалось, что ответов «Да» было ровно 1009. Какое наибольшее число подпевал могло быть среди жителей острова? Михаил Кузнецов
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. [4] Найдите все натуральные n, удовлетворяющие условию: числа 1, 2, 3, …, 2n можно разбить
на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, получится
квадрат натурального числа.
(Фольклор)
Ответ: все n > 1. Решение. 1 + 2 – не квадрат. Пусть n > 1.
1-й способ. Разобьём эти числа на четвёрки подряд идущих, и, если надо, шестёрку первых чисел.
Из четвёрок образуем (a + (a + 3))((a + 1) + (a + 2)) = (2a + 3)2, из шестёрки – (1 + 5)(2 + 4)(3 + 6)=182.
2-й способ. Если n чётно, то (1 + 2n)(2 + (2n – 1))…(n + (n + 1)) = (2n + 1)n – квадрат. Если n
нечётно, то (1 + 5)(2 + 4)(3 + 6)(7 + 2n)(8 + (2n – 1))…((n + 3) + (n + 4)) = 182(2n + 7)n–3 – квадрат.
Замечание. Для n = 2, 3 разбиение единственно, в остальных случаях – нет.
Используемые формулы
Из четвёрок образуем (a + (a + 3))((a + 1) + (a + 2)) = (2a + 3)2, из шестёрки – (1 + 5)(2 + 4)(3 + 6)=182.Если n чётно, то (1 + 2n)(2 + (2n – 1))…(n + (n + 1)) = (2n + 1)n – квадрат.нечётно, то (1 + 5)(2 + 4)(3 + 6)(7 + 2n)(8 + (2n – 1))…((n + 3) + (n + 4)) = 182(2n + 7)n–3 – квадрат.Для n = 2, 3 разбиение единственно, в остальных случаях – нет.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.