Задание №177029: Турнир городов
2. Дана окружность ω с центром O и две её различные точки A и C. Для любой другой точки P на ω отметим середины 4 X и Y отрезков AP и CP и построим точку H пересечения высот треугольника OXY . Докажите, что положение точки H не зависит от выбора точки P. Артемий Соколов
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. [4] Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, в котором AE || CD и AB = BC. Биссектрисы его
углов A и C пересекаются в точке K. Докажите, что BK || AE. (Егор Бакаев)
Решение. Пусть биссектриса угла C пересекает прямую AE в точке F, а
прямая, проходящая через B параллельно AE , пересекает отрезок CF в точке
X. Тогда BXC = DCX = BCX. Отсюда BX = BC = BA. Значит, BAX =
BXA = FAX. Следовательно, AX – биссектриса угла A, поэтому X
совпадает с K и BK || AE.
Замечание. На рисунке точка F лежит на стороне AE, но в решении это не используется. Можно,
впрочем, доказать, что биссектриса угла C не может пересекать сторону AB (а сторону ED – может).
Используемые формулы
[4] Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, в котором AE || CD и AB = BC.Тогда BXC = DCX = BCX.Отсюда BX = BC = BA.Значит, BAX =BXA = FAX.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.