Задание №176673: ОММО 2026
Задача 10. Дана последовательность a = 1 ,k ∈ N. Известно, что a + a + ... + a = 1 k k2+k p p+1 q−1 43 для некоторых натуральных p и q (p < q). Найдите p + q. Страница олимпиады: https://olimpiada.ru/ommo Объединенная межвузовская олимпиада по математике 01.02.2026 2 вариант
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «ОММО 2026» и рассчитано на уровень 11 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив · 2026
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Объединённая межвузовская математическая олимпиада — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2026
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «ОММО 2026» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
Задача 10. Дана последовательность a = 1 ,k ∈ N. Известно, что a + a + ... + a = 1 для
k k2+k p p+1 q−1 43
некоторых натуральных p и q (p < q). Найдите p + q.
Ответ: 1848.
Решение. Заметим, что 1 = 1 − 1 , поэтому a + a + ... + a = 1 − 1 + 1 − 1 + ... − 1.
k2+k k k+1 p p+1 q−1 p p+1 p+1 p+1 q
Кроме первого и последнего, слагаемые сокращаются в соседних парах, поэтому a +...+a = 1 − 1.
p q−1 p q
И далее
1 1 1
− = .
p q 43
Преобразуем: q−p = 1 , а значит 43q − 43p − pq + 432 = 432. Поэтому
pq 43
(43 − p)(43 + q) = 432, p < q
Отсюда 43 − p = 1 и 43 + q = 432, а значит p = 43 − 1, q = 432 − 43 и p + q = 432 − 1 = 1848.
Вариант II
Используемые формулы
Дана последовательность a = 1 ,k ∈ N.+ a = 1 дляЗаметим, что 1 = 1 − 1 , поэтому a + a + ...+ a = 1 − 1 + 1 − 1 + ...Кроме первого и последнего, слагаемые сокращаются в соседних парах, поэтому a +...+a = 1 − 1.− = .
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.