Задание №180463: Устная олимпиада 2023
1. По кругу. Петя расставил по кругу числа от 1 до 15 в некотором порядке и вычислил разность каждых двух соседних чисел (вычитая из большего числа меньшее). Может ли сумма всех полученных разностей равняться 24?
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Устная олимпиада 2023» и рассчитано на уровень 7 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив · 2023
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2023
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Устная олимпиада 2023» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1. По кругу. Петя расставил по кругу числа от 1 до 15 в некотором порядке и вычислил
разность каждых двух соседних чисел (вычитая из большего числа меньшее). Может ли
сумма всех полученных разностей равняться 24?
Baltic Way, 1990, упрощение
Ответ: нет.
Решение. Пусть это возможно. Рассмотрим числа 1 и 15. Пусть на одной из дуг между
ними стоят по порядку числа а , а , ..., a . Тогда |а – 1| + |а – а | + ... + |15 – а | ≥ (а – 1) +
1 2 k 1 2 1 k 1
(а – а ) + ... + (15 – а ) = 15 – 1 = 14. Это верно и для расстановки чисел на второй дуге
2 1 k
между 1 и 15. Таким образом, для всей расстановки указанная сумма будет не меньше,
чем 14 + 14 = 28. Противоречие.
Используемые формулы
+ (15 – а ) = 15 – 1 = 14.чем 14 + 14 = 28.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.