Задание №177110: Турнир городов

1. [4] Расстояние от некоторой точки внутри правильного шестиугольника до трёх его

последовательных вершин равны 1, 1 и 2 соответственно. Чему равна сторона этого
шестиугольника?
М. Евдокимов
Ответ: 3 .
Пусть A, B, C – последовательные вершины шестиугольника, O – точка внутри него, и пусть
OA = OB = 1, OC = 2.
Решение 1. Рассмотрим другую соседнюю с A вершину F. A B
Тогда FABC – равнобедренная трапеция (см. рисунок). Точка O
O
лежит на общем серединном перпендикуляре её оснований FC и
AB, поэтому OF = OC = 2. Но FC = 2AB (в правильном
F C

шестиугольнике главная диагональ в 2 раза больше стороны), откуда треугольники AOB и FOC

подобны с коэффициентом 2. Поскольку AB и FC параллельны и ∠BAO = ∠OCF, точка O лежит на
диагонали AC (и, аналогично, точка O лежит на диагонали BF). Тогда ∠OBC = 120° – 30° = 90°,
и BC = 22 −12 = 3 по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника OBC.
Решение 2. Точка O лежит на серединном перпендикуляре к
стороне AB. Построим вне шестиугольника равносторонний D
треугольник ABD (рис. справа). Ясно, что тогда OD – серединный

перпендикуляр к отрезку AB. Кроме того, так как DB : DC = 1 : 2 =
=OB : OC, то OD – биссектриса внешнего угла O треугольника BOC.
B
Значит, она перпендикулярна биссектрисе OE угла BOC. В силу A
E
равенства ∠BAO = ∠ABO = ∠BOE = ∠EOC, точки A, O, C лежат на
O
одной прямой. В треугольнике ADC, ∠D = 60°, DC = 2DA, откуда
угол DAC прямой, а AB = AD = AC ctg ∠D = 3 ctg 60° = 3 . C