Задание №175351: Задание 1
1. Найдите наибольшее натуральное число, в записи которого все цифры различны, а сумма всяких трёх соседних цифр — простое число. ( С. П. Павлов) Ответ: 98652470. Решение. Число 98652470 удовлетворяет требованию условия о простоте. Докажем, что указанное число — наибольшее возможное. Пусть𝑎 —𝑖-я цифра числа 𝑁, и в нём 𝑖 не менее 9 цифр. По условию, 𝑎 +𝑎 +𝑎 и 𝑎 +𝑎 +𝑎 — простые. Так как обе эти суммы больше 1 2 3 2 3 4 2, то они нечётные, а их разность чётная. Значит, числа 𝑎 и 𝑎 одной чётности. Рассуждая 1 4 аналогично, получаем, что числа одной и той же чётности в каждой из трёх групп: {𝑎 ,𝑎 ,𝑎 }, 1 4 7 {𝑎 ,𝑎 ,𝑎 }, {𝑎 ,𝑎 ,𝑎 }. Поскольку любая цифра — чётная или нечётная, то чисел одной чётности 2 5 8 3 6 9 должно быть не менее 3 + 3 = 6, что невозможно. Значит, у числа 𝑁 не более восьми цифр. Предъявленное в ответе число 98652470 восьмизначное, и первые две его цифры — наибольшие возможные. Третья цифра числа 𝑁, очевидно, не равна 7. Итак, искомое число таково: 986 . . . . Следующая цифра не равна 7, поэтому её значение не более 5. Пятая цифра не больше 2, и тогда наибольшее возможное значение шестой цифры — это 4. Далее ставим наибольшую оставшуюся цифру 7. На последнее место, соблюдая условие, можно поставить только 0. Критерии. Только ответ — 2 балла. Доказано, что число не может быть девятизначным, — 2 балла.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 1» и рассчитано на уровень 10 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 1» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
1) Сравним среднее время поиска клада. Допустим, робот стоит на некой клетке, слева от него
𝑎 клеток, а справа 𝑏 клеток (𝑎 + 𝑏 = 99). Пусть робот сначала идёт влево. Тогда для 𝑎 + 1 левых
клеток (включая начальную) время поиска будет равняться 0, 1, . . .,𝑎−1,𝑎. Если бы после этого
робот телепортировался на исходную клетку, то для остальных 𝑏 клеток время составило бы
𝑎 + 1,𝑎 + 2, . . .,𝑎 + 𝑏 = 99, и сумма ста времён составила бы 0 + 1 + . . . + 99. Но когда робот
дойдёт до левого края, он тратит 𝑎 минут на возвращение на исходную позицию. В результате
для каждой из оставшихся 𝑏 клеток время увеличивается на 𝑎 минут, и сумма времён поиска
равна (0 + 1 + . . . + 99) + 𝑎𝑏.
Если же робот идёт сначала вправо, а не влево, то числа 𝑎 и 𝑏 меняются ролями, но формула
для суммы времён (а значит, и для среднего времени) не меняется. Значит, по первому кри-
терию обе стратегии всегда одинаковы.
Используемые формулы
𝑎 клеток, а справа 𝑏 клеток (𝑎 + 𝑏 = 99)..,𝑎 + 𝑏 = 99, и сумма ста времён составила бы 0 + 1 + .
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.