Задание №180779: Устная олимпиада 2025
3. На доске нарисованы прямые, содержащие стороны пря- 3. На доске нарисованы прямые, содержащие стороны прямоугольного треугольника, и отмечены две точки касания вневмоугольного треугольника, и отмечены две точки касания вневписанной окружности, касающейся гипотенузы, с продолжениписанной окружности, касающейся гипотенузы, с продолжениями катетов. Используя только линейку (без делений), постройями катетов. Используя только линейку (без делений), постройте точки касания вневписанных окружностей с катетами, проте точки касания вневписанных окружностей с катетами, проведя не более пяти линий. ведя не более пяти линий.
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Устная олимпиада 2025». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- пошаговое рассуждение
- проверка результата
Источник: Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Устные математические олимпиады МЦНМО — официальный архив
- Организатор
- МЦНМО
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Устная олимпиада 2025» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Геометрия». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
5. (М. Векшин, 11 класс) Точка I — центр вписанной окружности треугольника ABC,
X симметрична I относительно серединного перпендикуляра к стороне BC, Q и R — се-
редины дуг AB и AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащих вершин
треугольника ABC. Точка B0 симметрична точке B относительно Q, а точка C0 симметрич-
на точке C относительно R. Докажите, что точки B0, I, X и C0 лежат на одной окружности.
3
Решение. Пусть N — середина дуги BAC
(см. рис. 8–9.5). Докажем, что точка N равноуда- BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
лена от указанных точек, откуда и будет следовать
утверждение задачи.
Из условия следует, что точка N равноудалена
от X и I, так как она лежит на серединном пер-
пендикуляре к отрезку BC. Тогда достаточно будет
NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
показать, что она также лежит на серединных пер-
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
пендикулярах к отрезкам C0I и B0I.
QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ
Докажем это утверждение для отрезка C0I (для
B0I доказательство аналогично).
Заметим, что RC0 = RC = RI по лемме о тре- RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR
зубце. Следовательно, треугольник CIC0 — прямо-
угольный. Теперь достаточно доказать, что прямая
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
RN содержит его среднюю линию, то есть парал-
лельность прямых RN и CI.
Это можно сделать, например, так. BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
^ QN =^ BN− ^ BQ = 180◦ − ∠A − ∠C = ∠B =
= ^CR, откуда следует искомая параллельность.
Итак, точка N равноудалена от точек B0, I, X и
Рис. 8–9.5
C0, то есть эти точки лежат на окружности с цен-
тром в N.
Комментарий.
Последнее утверждение можно было доказать, рассмотрев треугольник I I I , образованный центрами
a c b
вневписанных окружностей исходного треугольника. Тогда окружность, описанная около ABC, для такого
треугольника является окружностью девяти точек, то есть точка N — середина отрезка I I , а NR — средняя
c b
линия треугольника I II .
c b
Используемые формулы
Заметим, что RC0 = RC = RI по лемме о тре- RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR^ QN =^ BN− ^ BQ = 180◦ − ∠A − ∠C = ∠B == ^CR, откуда следует искомая параллельность.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Пропустить часть условия.
- Сделать вывод без проверки промежуточного шага.
- Записать только ответ без объяснения.