Задание №180773: Устная олимпиада 2025

3. (К. Байрак, 11 класс) Пусть равные правильные
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
треугольники ABC и DEF пересекаются по шестиуголь-
нику KJIHGL (см. рис.). Известно, что биссектриса угла DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
HGL проходит через J, а биссектриса угла HIJ — через
JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
L. Докажите, что вписанные окружности этих треуголь-
EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
ников совпадают.
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
Решение. Докажем, что шестиугольник KJIHGL —
описанный, откуда и будет следовать утверждение зада-
чи. Для этого достаточно показать, что точка Z пересече- AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
ния биссектрис углов HGL и HIJ принадлежит биссек-
трисам остальных углов шестиугольника, то есть равно-
удалена от всех его сторон (см. рис. 8–9.3).
FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
Рассмотрим треугольники LBI и LFI. Поскольку углы B и F равны 60◦, а IL — биссек-
триса угла HIJ, то ∠BLI = ∠FLI, то есть LI — биссектриса угла KLG. Аналогично, JG —
биссектриса угла KJI.
Дальше можно рассуждать по-разному.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Первый способ. Докажем, что Z лежит на биссектрисе
угла K, откуда и будет следовать утверждение задачи.
DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
Заметим, что треугольники LBI и LFI равны по сто-
JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
роне и прилежащим к ней углам. Следовательно, FL =
EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE
= BL. Поскольку AB = DF, то AL = DL, откуда следует
равенство треугольников ALG и DLK по стороне и при-
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ
лежащим к ней углам. IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
Заметим, что Z — центр вневписанной окружности
треугольника ALG, так как лежит на пересечении бис-
сектрис двух внешних углов, а расстояние от Z до пря- AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
мых LG и LK — радиус этой окружности. Поскольку
радиусы вневписанных окружностей у равных треуголь-
ников равны, то расстояния от точки Z до указанных
FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
прямых равно радиусу вневписанной окружности тре- Рис. 8–9.3
угольника DLK. Кроме того, Z лежит на биссектрисе внешнего угла L треугольника DLK,
то есть Z — центр вневписанной окружности и для треугольника DLK. Следовательно, Z
лежит на биссектрисе угла K шестиугольника, что и требовалось.
Равенство треугольников можно было получить чуть иначе.
2

Второй способ. Используем следующий факт.
Сумма расстояний от точки, лежащей на основании равнобедренного треугольника, до

его боковых сторон постоянна и равна высоте этого треугольника, проведенной к боковой
стороне.
Заметим, что точка L лежит на сторонах AB и FD равных равносторонних треугольни-
ков ABC и DEF. Тогда для нее одинакова и сумма указанных расстояний. Кроме того, L
равноудалена от прямых BC и EF, поскольку лежит на биссектрисе угла I.
Следовательно, L равноудалена от AC и DE, то есть равны высоты в треугольниках
ALG и DLK, откуда также следует равенство этих треугольников.
Дальнейшее аналогично первому способу решения.
Можно и не доказывать равенство треугольников, а использовать более сильный факт,

связанный с расстояниями.
Третий способ. Используем следующий факт.
Сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри равностороннего треугольника,
до его сторон постоянна и равна высоте этого треугольника.
В данном случае, Z удалена от сторон AB, AC и DF на одно и то же расстояние x и от
сторон BC, DE и EF на одно и то же расстояние y. Тогда суммы расстояний до сторон этих
треугольников равны 2x + y и 2y + x, откуда x = y и точка Z равноудалена от всех сторон

шестиугольника.
Комментарии.