Задание №176913: Турнир городов
7. На острове живут хамелеоны пяти цветов. Когда один хамелеон кусает другого, цвет укушенного хамелеона меняется на один из этих пяти цветов по некоторому правилу, причём новый цвет зависит только от цвета укусившего и цвета укушенного. Известно, 12 что 2023 красных хамелеона могут договориться о последовательности укусов между собой, после которой все они станут синими. При каком наименьшем k можно гарантировать, что k красных хамелеонов, кусая только друг друга, смогут стать синими? (Например, правила могут быть такими: если красный хамелеон кусает зелёного, укушенный меняет цвет на синий; если зелёный кусает красного, укушенный остаётся красным, то есть «меняет цвет на красный»; если красный кусает красного, укушенный меняет цвет на жёлтый, и т. д. Правила смены цветов могут быть другими.) Михаил Раскин
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
6. [10] Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере.
Обязательно ли тогда этот тетраэдр правильный?
Михаил Евдокимов
Ответ: обязательно. Решение. Пусть r – радиус, O – центр вписанной сферы S
тетраэдра ABCD. Пусть объем V меньше четверти объема V тетраэдра. Тогда
OABC ABC
r меньше четверти высоты h , опущенной на грань ABC, то есть середина этой высоты не
D
может лежать на S. Противоречие.
Отсюда видно, что все высоты равны 4r, центр O лежит на пересечении высот и делит
их в отношении 3:1, считая от вершины. Таким образом, O – пересечение плоскостей,
параллельных граням и делящим высоты в отношении 3:1. Но это пересечение совпадает
с центром масс вершин тетраэдра, то есть основания высот совпадают с точками
пересечения медиан граней.
Пусть K – точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда AO BCD, прямая AK –
проекция прямой AO на грань ABC. По теореме о трёх перпендикулярах AK BC, то есть
⊥
все высоты граней совпадают с медианами. Следовательно, все грани – равносторонние
⊥
треугольники.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.