Задание №176889: Турнир городов
7. У N друзей есть круглая пицца. Разрешается провести не более 100 прямолинейных разрезов, не перекладывая части до окончания разрезаний, после чего распределить все получившиеся кусочки между всеми друзьями так, чтобы каждый получил суммарно одну и ту же долю пиццы по площади. Найдутся ли такие разрезания, если 5 а) N = 201; 5 б) N = 400? Андрей Аржанцев
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
2. Для каждого из чисел 1, 19, 199, 1999 и т. д. изготовили одну отдельную карточку и
записали на ней это число.
а) [2] Можно ли выбрать не менее трёх карточек так, чтобы сумма чисел на них
равнялась числу, все цифры которого, кроме одной, – двойки?
б) [3] Пусть выбрали несколько карточек так, что сумма чисел на них равна числу, все
цифры которого, кроме одной, – двойки. Какой может быть его цифра, отличная от
двойки?
Сергей Маркелов
а) Ответ. Можно. Решение. Например, 19 + 199 + 1999 + ... + 199999999 = 222222212.
б) Ответ. 0 или 1. Решение. Пример с нулём: 1 + 19 = 20; пример с 1 дан в пункте а).
- 6 -
Оценка. Заметим, что 10ⁿ
- 7 -
1 9 . .
n
. 9 < 210ⁿ. Поэтому сумма S чисел на выбранных k
карточках удовлетворяет неравенству E S < 2E, где число E состоит из k единиц и,
возможно, нескольких нулей. Значит, в записи S и 2E одинаковое количество цифр,
причём хотя бы одна цифра числа S меньше соответствующей цифры числа 2E, т. е.
меньше 2. Это может быть только цифра 0 или 1.
Замечание. Как видно из решения, сумма чисел, начинающихся с единицы и
имеющих попарно различное количество цифр, всегда содержит в своей записи 0 или 1.
Используемые формулы
+ 199999999 = 222222212.Пример с нулём: 1 + 19 = 20;
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.