Задание №175244: Вероятность

7. Квиз состоит из нескольких вопросов (более одного), причём в каждом вопросе одинаковое
число вариантов ответа. Если на очередной вопрос выбирается неправильный ответ, вы про-
игрываете. Однако у вас есть одна «запасная жизнь» на весь квиз: при первом выборе непра-
вильного ответа вы не выбываете, а можете исправиться и дать ещё один ответ на тот же во-
прос (если и второй ответ неверен — вы проигрываете). Вероятность пройти квиз, выбирая

ответы наугад, равна 2/81. Сколько в квизе вопросов и сколько вариантов ответа в каждом во-
просе? ( П. Д. Муленко)
Ответ: в квизе 5 вопросов по 3 варианта ответа в каждом.

Решение. Обозначим количество вопросов за 𝑛, а количество вариантов ответа в каждом
вопросе за 𝑘. Вероятность угадать ответ на очередной вопрос равна 1/𝑘, то есть вероятность
угадать ответы на все 𝑛 вопросов равна 1/𝑘𝑛.
Если же на какой-то вопрос вы сперва ответили неверно с вероятностью 𝑘−1, то вы можете
𝑘
исправить свой ответ и повторно угадать правильный среди 𝑘 −1 оставшихся. Таким образом,
полная вероятность угадать ответ на вопрос с ошибкой равна

𝑘 − 1 1 1
· = ,
𝑘 𝑘 − 1 𝑘
и есть 𝑛 способов выбрать вопрос, на который вы ответите со второй попытки. Итого, полная
вероятность успешно пройти квиз наугад равна

1 𝑛 𝑛 + 1 2
+ = = .
𝑘𝑛 𝑘𝑛 𝑘𝑛 81
Упрощая получившееся уравнение, получаем 81(𝑛 + 1) = 2𝑘𝑛. Правая часть чётна, то есть 𝑛 + 1
чётно, откуда само 𝑛 нечётно (и больше одного):
𝒏 = 3: 81 · (3 + 1) = 2𝑘3 ⇒ 𝑘3 = 81 · 4/2 = 162 — не подходит, так как 162 не куб;

𝒏 = 5: 81 · (5 + 1) = 2𝑘5 ⇒ 𝑘5 = 81 · 6/2 = 243 — подходит, 𝑘 = 3.
Левая часть делится на 81, то есть 𝑘 обязательно кратно 3. Поэтому при дальнейшем увеличе-
нии 𝑛 левая часть будет каждый раз увеличиваться на 162, а правая — как минимум в 9 раз.
Иными словами, при 𝑛 > 5 правая часть всегда будет больше левой, и новых решений не най-
дётся.
Итого в квизе 𝑛 = 5 вопросов, в каждом из которых по 𝑘 = 3 варианта ответа.
𝑛 + 1 2
Критерии. Вывод уравнения = — 3 балла. Если решение этого уравнение угадано — +1 балл.
𝑘𝑛 81
Если не обосновано, что нет решений при 𝑛 > 5 — 5 баллов.
2
Только ответ с проверкой, что для него вероятность равна , — 2 балла.
81
2 2
Вместо верного составлено уравнение = — 1 балл.
𝑘𝑛 81

15



Л А Е Д Международная математическая олимпиада
У И
М Н
Ф О Р С Т В А «Формула Единства» / «Третье тысячелетие»
2025-2026 учебный год. Отборочный этап
Е
И
Т Р Е Т Ч Е Л Е Т Решения задач