Задание №175250: Вероятность
6. Квиз состоит из нескольких вопросов (более одного), причём в каждом вопросе одинаковое число вариантов ответа. Если на очередной вопрос выбирается неправильный ответ, вы проигрываете. Однако у вас есть одна «запасная жизнь» на весь квиз: при первом выборе неправильного ответа вы не выбываете, а можете исправиться и дать ещё один ответ на тот же вопрос (если и второй ответ неверен — вы проигрываете). Вероятность пройти квиз, выбирая ответы наугад, равна 2/81. Сколько в квизе вопросов и сколько вариантов ответа в каждом вопросе? (П. Д. Муленко)
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Вероятность» и рассчитано на уровень 9 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Вероятность» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
6. Квиз состоит из нескольких вопросов (более одного), причём в каждом вопросе одинаковое
число вариантов ответа. Если на очередной вопрос выбирается неправильный ответ, вы про-
игрываете. Однако у вас есть одна «запасная жизнь» на весь квиз: при первом выборе непра-
вильного ответа вы не выбываете, а можете исправиться и дать ещё один ответ на тот же во-
прос (если и второй ответ неверен — вы проигрываете). Вероятность пройти квиз, выбирая
ответы наугад, равна 2/81. Сколько в квизе вопросов и сколько вариантов ответа в каждом во-
просе? ( П. Д. Муленко)
Ответ: в квизе 5 вопросов по 3 варианта ответа в каждом.
Решение. Обозначим количество вопросов за 𝑛, а количество вариантов ответа в каждом
вопросе за 𝑘. Вероятность угадать ответ на очередной вопрос равна 1/𝑘, то есть вероятность
угадать ответы на все 𝑛 вопросов равна 1/𝑘𝑛.
Если же на какой-то вопрос вы сперва ответили неверно с вероятностью 𝑘−1, то вы можете
𝑘
исправить свой ответ и повторно угадать правильный среди 𝑘 −1 оставшихся. Таким образом,
полная вероятность угадать ответ на вопрос с ошибкой равна
𝑘 − 1 1 1
· = ,
𝑘 𝑘 − 1 𝑘
и есть 𝑛 способов выбрать вопрос, на который вы ответите со второй попытки. Итого, полная
вероятность успешно пройти квиз наугад равна
1 𝑛 𝑛 + 1 2
+ = = .
𝑘𝑛 𝑘𝑛 𝑘𝑛 81
Упрощая получившееся уравнение, получаем 81(𝑛 + 1) = 2𝑘𝑛. Правая часть чётна, то есть 𝑛 + 1
чётно, откуда само 𝑛 нечётно (и больше одного):
𝒏 = 3: 81 · (3 + 1) = 2𝑘3 ⇒ 𝑘3 = 81 · 4/2 = 162 — не подходит, так как 162 не куб;
𝒏 = 5: 81 · (5 + 1) = 2𝑘5 ⇒ 𝑘5 = 81 · 6/2 = 243 — подходит, 𝑘 = 3.
Левая часть делится на 81, то есть 𝑘 обязательно кратно 3. Поэтому при дальнейшем увеличе-
нии 𝑛 левая часть будет каждый раз увеличиваться на 162, а правая — как минимум в 9 раз.
Иными словами, при 𝑛 > 5 правая часть всегда будет больше левой, и новых решений не най-
дётся.
Итого в квизе 𝑛 = 5 вопросов, в каждом из которых по 𝑘 = 3 варианта ответа.
𝑛 + 1 2
Критерии. Вывод уравнения = — 3 балла. Если решение этого уравнение угадано — +1 балл.
𝑘𝑛 81
Если не обосновано, что нет решений при 𝑛 > 5 — 5 баллов.
2
Только ответ с проверкой, что для него вероятность равна , — 2 балла.
81
2 2
Вместо верного составлено уравнение = — 1 балл.
𝑘𝑛 81
Используемые формулы
· = ,+ = = .Упрощая получившееся уравнение, получаем 81(𝑛 + 1) = 2𝑘𝑛.𝒏 = 3: 81 · (3 + 1) = 2𝑘3 ⇒ 𝑘3 = 81 · 4/2 = 162 — не подходит, так как 162 не куб;𝒏 = 5: 81 · (5 + 1) = 2𝑘5 ⇒ 𝑘5 = 81 · 6/2 = 243 — подходит, 𝑘 = 3.Итого в квизе 𝑛 = 5 вопросов, в каждом из которых по 𝑘 = 3 варианта ответа.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.