Задание №175230: Задание 7
7. В стране Оз все города пронумерованы числами от 1 до 𝑁, причём 𝑁 чётно, но не кратно 4. Каждые два города соединены или дорогой из жёлтого кирпича, или дорогой из зелёного изумруда. Главный Волшебник решил изменить нумерацию городов так, чтобы те номера, что соединялись жёлтой дорогой, теперь соединялись зелёной, и наоборот. Получится ли у Волшебника осуществить задуманное? (Л. С. Корешкова) У Л А Е Д И Международная математическая олимпиада М Н Ф О Р С Т В А «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» 2025-2026 учебный год. Отборочный этап Е И Т Р Е Т Ч Е Л Е Т Задачи
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 7» и рассчитано на уровень 6 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 7» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
7. В стране Оз все города пронумерованы числами от 1 до 𝑁, причём 𝑁 чётно, но не кратно 4.
Каждые два города соединены или дорогой из жёлтого кирпича, или дорогой из зелёного
изумруда. Главный Волшебник решил изменить нумерацию городов так, чтобы те номера,
что соединялись жёлтой дорогой, теперь соединялись зелёной, и наоборот. Получится ли у
Волшебника осуществить задуманное? ( Л. С. Корешкова)
Ответ: нет, не получится.
Решение. Раз количество городов 𝑁 чётно, но не делится на 4, его можно представить как
𝑁 = 4𝑘 + 2. Тогда общее количество дорог в стране Оз равно
𝑁 · (𝑁 − 1) (4𝑘 + 2) · (4𝑘 + 1)
= = (2𝑘 + 1) · (4𝑘 + 1).
2 2
Оба числа 2𝑘 + 1 и 4𝑘 + 1 являются нечётными, то есть и общее количество дорог нечётно. Но
тогдаколичестводорогизжёлтогокирпичанеможетбытьравноколичествудорог иззелёного
изумруда, поэтому какая-то пара номеров останется соединена дорогой того же цвета, что и
до перенумерования.
Критерии. Только ответ — 0 баллов. Доказано, что суммарное количество дорог нечётно — 5 баллов.
7
Л А Е Д Международная математическая олимпиада
У И
М Н
Ф О Р С Т В А «Формула Единства» / «Третье тысячелетие»
2025-2026 учебный год. Отборочный этап
Е
И
Т Р Е Т Ч Е Л Е Т Решения задач
Используемые формулы
𝑁 = 4𝑘 + 2.= = (2𝑘 + 1) · (4𝑘 + 1).
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.