Задание №175223: Задание 7
7. Все десять цифр разбили на пары и в каждой вычислили разность (вычитая из большей цифры меньшую). Какой наибольшей степени двойки может равняться произведение всех этих разностей? (Степень двойки — это произведение нескольких двоек, например, пятая степень двойки равна 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.) (С. П. Павлов) У Л А Е Д И Международная математическая олимпиада М Н Ф О Р С Т В А «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» 2025-2026 учебный год. Отборочный этап Е И Т Р Е Т Ч Е Л Е Т Задачи
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Задание 7» и рассчитано на уровень 5 класса. Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив · 2025
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Олимпиада «Формула Единства» — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Год материала
- 2025
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Задание 7» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
7. Все десять цифр разбили на пары и в каждой вычислили разность (вычитая из большей циф-
ры меньшую). Какой наибольшей степени двойки может равняться произведение всех этих
разностей? (Степень двойки — это произведение нескольких двоек, например, пятая степень
двойки равна 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.) ( С. П. Павлов)
Ответ: 210 = 1024.
Решение. Десять цифр разбиваются на пять разностей. Чтобы их произведение равнялось
степени двойки, каждая из них должна равняться степени двойки, то есть 1, 2, 4 или 8. Заме-
тим, что поскольку чётных и нечётных цифр по 5, то хотя бы в одну из разностей попадут
цифры разной чётности, и она должна равняться 1. Наибольшая степень двойки при указан-
ном вычитании — это 23 = 8, и она получается только в таких случаях: 9 − 1 и 8 − 0. Каждая из
оставшихся двух разностей не больше, чем 22. Поэтому при умножении двойка получится не
более, чем в 3 + 3 + 2 + 2 + 0 = 10 степени.
Пример: (9 − 1) · (8 − 0) · (7 − 3) · (6 − 2) · (5 − 4) = 8 · 8 · 4 · 4 · 1 = 210.
Примечание. Пример единственен (с точностью до перестановки множителей).
Критерии. За пример 3 балла, за оценку (то есть доказательство, что больше, чем 210, получить нель-
зя) — 4 балла.
4
Л А Е Д Международная математическая олимпиада
У И
М Н
Ф О Р С Т В А «Формула Единства» / «Третье тысячелетие»
2025-2026 учебный год. Отборочный этап
Е
И
Т Р Е Т Ч Е Л Е Т Решения задач
Используемые формулы
двойки равна 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.) ( С.Ответ: 210 = 1024.ном вычитании — это 23 = 8, и она получается только в таких случаях: 9 − 1 и 8 − 0.более, чем в 3 + 3 + 2 + 2 + 0 = 10 степени.Пример: (9 − 1) · (8 − 0) · (7 − 3) · (6 − 2) · (5 − 4) = 8 · 8 · 4 · 4 · 1 = 210.
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.