Задание №177136: Турнир городов
6. Внутри треугольника ABC на биссектрисе угла A выбрана произвольная точка J. Лучи BJ и CJ пересекают стороны AC и AB в точках K и L соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника AKL в точке A пересекает прямую BC в точке P. Докажите, что PA = PJ. П. Кожевников, А. Кузнецов
Что проверяет это задание
Задание относится к теме «Турнир городов». Для решения понадобятся:
- анализ условия
- выбор формулы
- проверка вычислений
Источник: Международный математический Турнир городов — официальный архив
Качество материала
Показываем, из чего состоит страница и можно ли проверить материал по первоисточнику.
Последняя проверка решения:
Происхождение задания
- Банк заданий
- Международный математический Турнир городов — официальный архив
- Организатор
- Редакция «Я сам решу»
- Материалы
- 1 файл
Связанные понятия
План самостоятельного решения
- Перепишите известные данные и отдельно сформулируйте, что требуется найти или доказать.
- Свяжите условие с темой «Турнир городов» и выберите подходящее правило, формулу или способ рассуждения.
- Запишите промежуточные шаги: это помогает заметить потерянный знак, случай или логический переход.
- Сверьте результат со всеми ограничениями условия и только затем откройте подробный разбор.
Ориентировочное время: 15 минут.
Закрепить тему
После разбора попробуйте решить ещё десять заданий по предмету «Математика». Вариант формируется заново, а ответы можно сразу проверить.
Решение по шагам
3. [4] Докажите, что любой треугольник можно разрезать на 2019 четырёхугольников, каждый
из которых одновременно вписанный и описанный.
Н. Седракян
Решение. Признак вписанности четырёхугольника — равенство сумм противоположных углов,
признак описанности — равенство сумм противоположных сторон. Если из центра вписанной в
треугольник окружности опустить перпендикуляры на стороны треугольника, он разобьется на
три четырёхугольника, обладающих обоими этим свойствами. Чтобы разбить треугольник на 2019
таких четырёхугольников, достаточно разбить его на 2019:3 = 673 треугольника (например,
отрезками, исходящими из одной вершины), а потом каждый из них — на три четырёхугольника,
как показано выше.
Используемые формулы
таких четырёхугольников, достаточно разбить его на 2019:3 = 673 треугольника (например,
Самопроверка после решения
- Я использовал все данные из условия и не добавил неподтверждённых предположений.
- Каждый переход в рассуждении объяснён правилом, формулой или ранее доказанным фактом.
- Ответ соответствует вопросу, а обозначения и единицы измерения записаны однозначно.
- Я сравнил свой ход решения с разбором и понял причину каждого отличия.
Типичные ошибки
- Не проверить область допустимых значений.
- Потерять знак при переносе или раскрытии скобок.
- Не выполнить обратную подстановку.