Задание №176811: Турнир городов

6. Дан треугольник ABC. Пусть CL — его биссектриса, W — середина дуги BCA, а P —
проекция ортоцентра на медиану, проведённую из вершины C. Окружность CPW пересека-
ет прямую, проходящую через C и параллельную AB, в точке Q. Докажите, что LC = LQ.
(А. Заславский)

Решение 1. Известно, что точка P — пересечение медианы с дугой AHB. Пусть R —
середина этой дуги, M — середина AB. Точки P(cid:48)(cid:48) и R(cid:48), симметричные P и R относительно M,
лежат на окружности ABC; отсюда MP ·MC = MP(cid:48) ·MC = MR(cid:48) ·MW = MR·MW, то есть
R лежит на окружности CPW.
Далее, поскольку CW ⊥ CL, луч CL пересекает окружность CPRW в точке U, диамет-
рально противоположной W, откуда UR (cid:107) BC. Тогда ML — средняя линия в треугольнике
RR(cid:48)U, то есть L — середина R(cid:48)U. Поэтому во вписанной трапеции RUCQ общий серединный

перпендикуляр к RU и CQ проходит через L, откуда и следует требуемое.
Решение 2. Пусть Q(cid:48) — такая точка на прямой CQ, что CQ(cid:48) = CL. Докажем, что C, P,
Q(cid:48), W лежат на одной окружности. Рассмотрим композицию инверсии с центром C и симмет-
рии относительно CL, меняющую местами точки A и B. Она также меняет местами прямую
AB и описанную окружность треугольника, поэтому L переходит в середину U дуги AB, W в
основание K внешней биссектрисы угла C, а точка Шалтая P в точку пересечения касатель-
ных в точках A и B. Далее, прямая CQ переходит в касательную к описанной окружности в

точке C, а окружность с центром L, проходящая через C в серединный перпендикуляр к CU
(поскольку образы точек C и U инверсны относительно этой окружности). Следовательно, Q(cid:48)
переходит в точку пересечения касательных в точках C и U.
Эта точка вместе с образом точки P и точкой K лежат на одной прямой — поляре точки
L относительно окружности ABC, откуда и получаем искомое утверждение.














5